Instabilité de Saffman-taylor ou hydrodynamique des fluides complexes en cellule de Hele-Shaw.

Ce travail est le fruit d'une collaboration étroite entre deux groupes du LPS :

Un groupe expérimental : D. Bonn, A. Lindner, J. Meunier, collaborations H. Kellay (Université de Bordeaux), P. Coussot (Laboratoire Central des Ponts et Chaussées)

Un groupe théorique : M. Ben Amar, E. Corvera

L'instabilité de Saffman-Taylor a été découverte lors de l'extraction du pétrole qui imbibe généralement des roches poreuses. On cherche à chasser le pétrole de ces roches en le poussant avec de l'eau (ou un gaz). Lors d'un tel processus, des pétroliers ont remarqué la formation de " doigts " d'eau dans le pétrole limitant ainsi la vitesse de récupération de celui-ci. Saffman et Taylor observèrent que lorsqu'un fluide moins visqueux pousse un fluide plus visqueux dans un canal linéaire et mince, système modèle pour le milieu poreux, l'interface entre les deux fluides se déstabilise et il y a formation d'un motif qu'on appelle aujourd'hui doigt de Saffman-Taylor. Dans le canal, aussi appelé cellule de Hele-Shaw, ce doigt stable se propage ensuite le long de la cellule. Cette instabilité est très bien comprise à l'heure actuelle pour les fluides classiques.

Plus récemment, l'instabilité de Saffman-Taylor a été étudiée pour des fluides "complexes". L'intérêt d'une telle étude vient du fait que, dans la pratique (par exemple en récupération du pétrole ou en "injection moulding"), les fluides utilisés sont souvent des liquides qui contiennent des additifs, comme des polymères et montrent donc des propriétés d'écoulement non-newtoniennes. Une grande variété de motifs remarquablement différents de ceux obtenus pour des fluides simples a été observée. Un grand nombre d'expériences ont été effectuées dans des solutions de polymères ou des résultats assez différents du résultat obtenu avec les fluides classiques peuvent être observés. Sous certaines conditions, des doigts qui ressemblent à des fractures se forment et se propagent. Dans des suspensions d'argiles ou des mousses, les doigts ont une structure très ramifiée, fractale. L'instabilité s'avère ainsi très riche en motifs pour les fluides complexes. Malheureusement, la plupart des fluides utilisés, même dans des expériences de laboratoire, possèdent plusieurs propriétés non-newtoniennes à la fois. De plus, ces propriétés ne sont pas connues pour la plupart des expériences. Ceci forme évidemment un obstacle important pour expliquer les motifs observés.

Des expériences ont étés menées dans le groupe Bonn/Meunier sur les fluides complexes, en s'efforçant de choisir au mieux ces fluides afin que chacun d'entre eux ne possède essentiellement qu'une seule propriété différente des fluides newtoniens utilisés dans l'étude de l'instabilité "classique". Ceci a permis d'étudier séparément l'effet sur l'instabilité de Saffman-Taylor de ces différentes propriétés non-newtoniennes et de relier ainsi systématiquement les propriétés rhéologiques des fluides aux motifs observés en cellule de Hele-Shaw. Ces propriétés sont notamment une viscosité rhéofluidifiante, un seuil d'écoulement et des effets élastiques tels qu'une contrainte normale élevée, qui sont parmi les propriétés non-newtoniennes les plus courantes.

Les résultats obtenues au laboratoire jusqu'à 1997 rassemblent des résultats assez spectaculaires mais encore préliminaires. Tant du point de vue expérimental que théorique, cette étude a été poursuivie au laboratoire.

Le groupe expérimental a montré que les solutions du polymère rigide Xanthane sont rhéofluidifiantes et que ce caractère rhéofluidifiant peut être modulé en faisant varier la concentration des solutions. On obtient ainsi un fluide faiblement rhéofluidifiant à faible concentration et un fluide fortement rhéofluidifiant à forte concentration et l'on peut fabriquer ainsi une solutions avec le caractère rhéofluidifiant souhaité. Un gel de polymères est caractérisé par l'existence d'un seuil d'écoulement qui doit être dépassé pour mettre le fluide en mouvement. Pour des contraintes supérieures à cette contrainte seuil, le gel se comporte comme un fluide fortement rhéofluidifiant. Les solutions du polymère flexible PEO montrent des effets élastiques, notamment des contraintes normales élevées et une viscosité élongationnelle élevée, mais pas ou peu d'effet rhéofluidifiant mesurable. Cette contrainte normale augmente avec la concentration en PEO.

Après avoir caractérisé les propriétés non-newtoniennes des fluides, leur effet sur l'instabilité de Saffman-Taylor a été étudié. Pour les fluides rhéofluidifiants, on observe un amincissement des doigts : la largeur relative des doigts peut même descendre en dessous de la limite observée pour les fluides newtoniens à vitesse élevée.

Cependant, on retrouve pour les fluides faiblement rhéofluidifiants la courbe maîtresse de McLean et Saffman pour les fluides newtoniens en modifiant le paramètre de contrôle de l'instabilité afin de tenir compte du caractère rhéofluidifiant des solutions. Pour cela, on remplace la viscosité par la viscosité non-newtonienne.

Pour les fluides fortement rhéofluidifiants, les résultats s'écartent de cette courbe classique et des doigts plus fins sont observés. Dans ce cas, c'est le rayon de courbure à la pointe des doigts qui est sélectionné en fonction du nombre capillaire et non pas la largeur relative des doigts. Pour des vitesses pas trop élevées, le rayon de courbure rapporté à l'épaisseur de la cellule est proportionnel à la racine du nombre capillaire. Le coefficient de proportionnalité est une mesure de l'ampleur de l'anisotropie dans le système et est, pour les solutions de Xanthane, donné par le caractère rhéofluidifiant des solutions. De plus, ces résultats sont en bon accord avec les prédictions théoriques (numériques) pour des fluides rhéofluidifiants développées par M. Ben Amar et E. Corvera (voir ci dessous).

Lors d'une étude de l'instabilité dans un fluide à seuil, A. Lindner et D. Bonn ont observé deux régimes différents: le régime basse vitesse où il y a formation de structures très ramifiées (régime de seuil) et le régime à vitesse élevée où l'on observe un seul doigt stable au milieu de la cellule (régime visqueux). On montre que dans le régime de seuil, la contrainte seuil est dépassée de très peu et seulement localement et joue donc un rôle important pour l'instabilité. Dans ce régime, on observe une largeur caractéristique des doigts indépendante de la vitesse. Ce comportement, très différent de celui observé dans les fluides newtoniens est lié au fait que la contrainte seuil est indépendante de la vitesse, tandis que la contrainte visqueuse des fluides newtoniens en dépend.

Les mesures de la largeur des doigts en fonction de la contrainte seuil et de l'épaisseur de la cellule sont en très bon accord avec les prédictions théoriques résultant d'une analyse de stabilité linéaire. Cette analyse de stabilité linéaire montre de plus que la largeur caractéristique du doigt pour un fluide à seuil reste finie, contrairement au cas newtonien, dans la limite de vitesse nulle. Ceci est en accord avec la formation de structures très ramifiées observées et ayant une largeur de doigts bien caractéristique dans le régime basse vitesse. Quand la vitesse des doigts augmente, on observe une transition vers le régime visqueux. Dans ce régime, la contrainte seuil est dominée par les contraintes visqueuses et le fluide montre les caractéristiques d'un fluide fortement rhéofluidifiant. Les résultats de digitation visqueuse obtenus dans le régime visqueux pour un fluide à seuil sont semblables aux résultats obtenus dans les fluides rhéofluidifiants: la largeur relative des doigts décroît avec leur vitesse et peut atteindre des valeurs nettement plus petites que la limite newtonienne.

Dans une troisième série d'expériences, c'est l'influence des effets élastiques qui a été étudiée, notamment l'influence des contraintes normales et d'une viscosité élongationelle élevée, sur l'instabilité dans les solutions de PEO. Des mesures de la largeur relative des doigts en fonction de leur vitesse dans ces solutions ont montré un élargissement des doigts par rapports aux résultats obtenus avec des fluides Newtoniens. Ce résultat, qui est l'opposé de l'amincissement des doigts observé dans les solutions de Xanthane, peut être attribué aux effets élastiques présents dans les solutions de PEO mais quasiment absents dans les solutions de Xanthane. La contrainte normale exerce une pression supplémentaire sur le doigt qui s'ajoute à la pression capillaire. Quand le paramètre de contrôle est modifié de façon à tenir compte de cette pression supplémentaire, les résultats des mesures de la largeur des doigts en fonction de ce paramètre modifié se placent sur la même courbe universelle que celle obtenue avec les fluides newtoniens, tant que les fluides ne montrent pas d'effets élastiques trop élevés. Pour des contraintes normales élevées on observe une déviation par rapport à cette courbe universelle ce qui conduit à vitesse élevée à des doigts plus larges. Des efforts expérimentaux et théoriques sont encore nécessaires pour comprendre en détail cet élargissement.

En 1997, deux modèles théoriques avaient permis d'expliquer et de justifier l'élargissement des doigts constaté dans les expériences. Un modèle avec processus de transport moléculaire dans le film de surfactant qui couvre la surface du doigt, à l'origine d'un effet capillaire qui dépend de la vitesse du doigt, explique parfaitement les résultats expérimentaux obtenus avec des solutions diluées de surfactants. Un modèle simple de viscosité dynamique pour les solutions de polymères qui forment un fluide non-newtonien : la viscosité dépend en chaque point de la vitesse locale moyennée sur l'épaisseur. Ces derniers résultats n'étaient encore que préliminaires et le travail théorique a été poursuivi.

En particulier le cas des fluides dits "power-law" (viscosité dépendant du cisaillement local suivant une loi de puissance) a fait l'objet du stage post-doctoral d'Eugénia Corvera-Poiré et a permis l'interprétation théorique de certains résultats de la thèse expérimentale d'Anke Lindner. Le groupe théorique a montré qu'un fluide non-newtonien se comportait comme un fluide ordinaire en géométrie de Saffman-Taylor à basse vitesse mais avait un comportement de type fracture à haute vitesse qui s'explique par les non-linéarités de la loi de Stefan.

On devrait à terme, à la suite de ces études, pouvoir utiliser l'instabilité de Saffman-Taylor comme instrument de mesure de propriétés dynamiques de fluides rhéologiques.

Références.

Visco-elastic free boundary problems: non-Newtonian vs. normal stress effects, D. Bonn and J. Meunier, Phys. Rev. Lett, 79 (1997) 2662

Finger behavior of a shear thinning fluid in a Hele-Shaw Cell, E. Corvera-Poiré and M. Ben Amar P.R.L 81, 2048 (1998)

D. Bonn, H. Kellay, J. Meunier "Viscous fingering and related instabilities in complex fluids", Phyl.Mag. B 78 (1998) 131

Pushing a non-newtonian fluid in a Hele-Shaw cell: from fingers to needles, M. Ben Amar and E. Corvera-Poiré, Physics of fluids 11, 1757 (1999)

Controlling the Saffman-Taylor instability with complex fluids, A. Lindner, D. Bonn, M. Ben Amar, H. Kellay and J. Meunier, Euro. Phys. News (Mai ou Juin 99)

A. Lindner, D. Bonn, J. Meunier, "Viscous fingering in a shear-thinning fluid, Phys.Fluids 12 (2000) 256

Viscous Fingering in a yield-stress fluid , A. Lindner, P. Coussot, D. Bonn, Phys.Rev.Lett. 85 (2000) 314

Viscous Fingering in complex fluids", A. Lindner, D. Bonn, J. Meunier, J. Phys. Condens.Matter 12 (2000) 477

Viscous fingering in non-Newtonian fluids, A. Lindner, D.Bonn, E. Corvera-Poiré, M. Ben Amar and J. Meunier soumis à J. Fluid Mech. (février 2001)

Projets.

 Si deux pièces sont collées à l'aide d'un adhésif souple, leur séparation par traction conduit a plusieurs phénomènes, l'un étant la formation de doigts d'air qui pénètrent dans la colle à partir du bord. Cette digitation est en cours d'étude en prenant pour "colle" des gels de polymères.

Morphégénèse physique.

Y. Couder, E. Lajeunesse.

Y. Couder a poursuivi des travaux concernant la morphogénèse physique (digitation de Saffman Taylor) et la morphogénèse. La digitation de Saffman-Taylor forme un système modèle pour la croissance fractale. Cette croissance fractale correspond à la formation constante de structures de toutes échelles. Avec E. Lajeunesse il s'est donc intéressé au phénomène dit de tip splitting par lequel l'extrémité d'une branche en cours de croissance se fend pour donner deux branches filles. On peut montrer qu'il y a une relation directe entre la répartition des tailles des branches filles et la structure de l'extrémité des doigts stables. On établit ainsi une relation directe entre la structure singulière de l'extrémité des doigts et la répartition des tailles des structures résultantes.

Références.

On the tip splitting instability of viscous fingers, E. Lajeunesse and Y. Couder, J. Fluid Mech. 419 (2000) 125

Viscous fingering as an archetype for growth patterns, Y. Couder, Chapitre du livre ""Perspectives in Fluid Dynamics - A Collective Introduction to Current Research" , Cambridge University Press (2000)

Growth in scalar or tensorial fields: patterns with open branches or closed networks. Y. Couder, Proceedings de "Dynamics and morphogenesis of branching structures", Les Houches

Morphogenèse végétale : phyllotaxie, nervuration.

Y. Couder, S. Douady, S. Bohn, Adda Bedia, Collaborations J. Munzinger (MNHN), , L. Pauchard, C. Allain (FAST, Université Paris Sud)

Chez les plantes supérieures il existe un petit nombre d'organisations très universelles des éléments successifs le long d'une tige (feuilles, bractées, sépales, pétales, etc…). Dans la plus courante de ces organisations, les éléments sont disposés selon une spirale régulière et forment l'un avec l'autre un angle lié au nombre d'or. Y. Couder et S. Douady avaient introduit au cours des années antérieures un modèle itératif qui permet de générer toutes les structures observées et elles seules. Dans un travail plus récent, ils ont comparé les résultats de simulations avec des mesures effectuées sur des spécimens variés de tournesols. Les résultats montrent qu'un accord est obtenu non seulement pour les régimes stationnaires mais qu'on peut reproduire en détail les transitoires caractéristiques de l'ontogenèse. Les défauts observés dans les motifs botaniques (dislocations par exemple) peuvent alors être reproduits et interprétés.

L'équipe étudie actuellement (1999-2001) en collaboration avec Ludovic Pauchard et Catherine Allain du FAST à Orsay, le problème de la formation du réseau de nervures des feuilles. Les structures formées par les réseaux de nervures sont comparées avec les réseaux de craques qui se forment durant la dessiccation d'un gel. Les morphologies observées étant très voisines on est conduit à émettre une nouvelle hypothèse selon laquelle la formation du procambium (le tissu qui est le précurseur des nervures) résulte des contraintes mécaniques auxquelles est soumis le mésophylle (le tissu interne de la feuille). C'est un des points de départ du travail de thèse de Steffen Bohn, en cours.

L'autre point de départ consiste à quantifier les structures veineuses, ce qui, contrairement à la phyllotaxie, n'avait pas encore été fait. Ce travail est fait en collaboration avec Jérôme Munzinger du MNHN. Des méthodes d'analyse d'image sont développées pour ce problème précis de réseaux réticulé. Les premiers résultats montrent déjà que les angles de connections des nervures sont cohérents avec une hypothèse de tension exercée par chacune de ces nervures, tension qui dépend de la taille (c'est-à-dire de l'âge) de la nervure.

Références

Initial transitions, order and disorder in phyllotactic patterns: the ontogeny of Helianthus annuus. A case study, Y. Couder, Acta Soc. Bot. Poloniae 67 (1998) 129

Does leaf venation form in a tensorial stress field? Y. Couder, L. Pauchard, C. Allain, M. Adda Bedia, and S. Douady, Preprint.

Rational and irrational angles in phyllotaxis, Y. Couder and S. Douady in "Pattern Formation in Biology, Vision and Dynamics" A.Carbone, M.Gromov, P.Pruzinkiewicz eds, World Scientific, Singapore, (1999)

Etalement d'une goutte de nématique.

M. Ben Amar, L. Cummings

 Anne-Marie Cazabat, Professeur de l'Université Paris VI et chercheur au Collège de France a mis en évidence une nouvelle instabilité apparaissant lorsqu'une goutte de cristal liquide nématique s'étale sur un substrat. En atmosphère humide (diminution de la tension de surface), elle a observé par des méthodes optiques un front de cellules de taille du micron. Lorsque le substrat est amorphe, ces cellules rappellent les digitations visqueuses observées dans l'instabilité de l'imprimeur. En substrat anisotrope, elle observe de réelles dendrites.

L'étalement des gouttes est décrit (du moins pour un fluide ordinaire) par une équation dite de lubrification (équation hydrodynamique visqueuse moyennée sur l'épaisseur supposée petite du film). Cette équation incorpore la capillarité, les effets de pression due à la pesanteur et l'attraction de Van der Waals du substrat, en plus de l'hydrodynamique visqueuse. Dans l'approximation de lubrification, on est capable de ramener le problème à l'étude d'une seule équation portant sur l'épaisseur du film. Le prix à payer est une équation fortement non-linéaire du troisième ordre pour les dynamiques à vitesse constante et du quatrième ordre pour l'étude des instabilités. Elle a fait l'objet de nombreux travaux (surtout numériques) dans la communauté des mathématiciens appliqués.

En collaboration avec un chercheur en stage post-doctoral (Linda Cummings), M. Ben Amar a prouvé exactement (au sens mathématique) certains résultats standards connus depuis plus de 10 ans mais déduit d'une approche semi-numérique. Puis ces théoriciennes se sont rendues compte que le modèle hydrodynamique des nématiques dit de "Leslie" (le plus simple qui prend en compte l'orientation du directeur) n'avait jamais été traité à l'approximation de lubrification. Elles ont montré qu'à cette échelle, l'hydrodynamique visqueuse était contrainte par les conditions d'ancrage du nématique à la surface libre (angle constant du directeur par rapport à la normale à la surface libre) et au substrat. Les conditions d'ancrage à une surface libre ne sont pas très bien établies expérimentalement et l'étude de cette instabilité permettra peut-être de les confirmer. Cette hydrodynamique un peu particulière des films de nématiques entraîne dans l'équation mentionnée plus haut un terme dit anti-diffusif responsable de l'instabilité.

Référence.

Fingering Instabilities in driven thin nematic films, M. Ben Amar and L. Cummings, Physics of Fluids, (parution mai 2001)

Electromigration.

 Ben Amar, L. Cummings, M. Ben Amar G. Richardson, collaboration J.R. Rice (Université de Harvard)

L'électromigration consiste en la migration des ions contenus dans un film mince métallique sous l'effet d'un champ électrique. Cette migration résulte de deux effets : la mobilité naturelle des charges sous champ électrique à laquelle s'ajoute un effet de collision des électrons sur les ions. La migration des ions entraîne la formation de "trous" isolants dans le film mince qui croissent et se déplacent, finissant par provoquer la rupture du film. La géométrie de bande ou ruban est la plus adaptée à la situation expérimentale. Imaginant une grande poche de déplétion, centrée et avançant à vitesse constante, M. Ben Amar a montré qu'on se retrouve dans une situation très proche de l'instabilité de digitation visqueuse d'autant que le problème est régi par les mêmes contraintes et les mêmes équations à l'exception de l'équation de Dirichlet sur l'interface. Or cette équation suffit à donner des résultats en totale opposition avec le doigt de Saffman-Taylor. En l'absence de tension de surface, il existe un processus de sélection des structures ; en particulier un "doigt" de largeur relative 2/3 est observée. La tension de surface a pour effet de limiter la taille des structures de sorte que l'on observe surtout des petites bulles très rapides. Ces premiers résultats semi-analytiques et semi-numériques ont beaucoup intrigué la communauté spécialiste des systèmes "Hele-Shaw", mathématiciens ou physiciens, car aucune explication théorique n'a pu être apportée. En collaboration avec le Professeur Jim Rice de Harvard M. Ben Amar, a pu expliquer la sélection apparaissant en l'absence de tension de surface, par une technique utilisée en théorie de la fracture, technique dite de l'intégrale de Rice. Cette intégrale fixe en fait une loi de conservation toujours vraie pour tout système Laplacien, mais qui n'apporte pas toujours une réelle information sur les structures (c'est le cas dans la digitation visqueuse). Cependant, dans le cas de la condition de Dirichlet propre à l'électromigration, l'intégrale de Rice fixe la largeur à 2/3. Ils ont ensuite élargi ce traitement analytique à d'autres instabilités de croissance qui restaient incomprises comme les bulles d'air croissant dans un fluide sans viscosité et obéissant à l'équation d'Euler. En effet, dans ce cas, même si la géométrie peut apparaître semblable à l'instabilité de Saffman-Taylor, peu de prédictions avaient été données. Ajoutons que l'intégrale de Rice n'est pas limitée à 2 dimensions. Par ailleurs, M. Ben Amar, L. Cummings et G. Richardson ont montré qu'il n'existe pas de solution de type soliton se propageant en bordure de bande.

Références :

Void Electromigration as a moving free boundary problem, M. Ben Amar, Physica D 134, 275-286 (1999).

Exact results with the J-integral applied to interfacial flows, M. Ben Amar and J.R. Rice, soumis à J.F.M (janvier 2001)

Models of electromigration, L. Cummings, M. Ben Amar and G. Richardson, Eur. Journ. of Appl. Math, preprint (2001)

A theoretical treatment of void electromigration in the strip geometry, M. Ben Amar, L. Cummings and G. Richardson, à paraître dans Computational Materials Science (2001)

Rhéologie des vésicules.

 D.Bonn, N. Shahidzadeh, J. Meunier, en collaboration avec O. Aguerre-Chariol (Rhodia Recherches)

Dans une solution diluée de tensioactif soluble, l'AOT, il se forme spontanément des structures en bicouches d'AOT, plus précisément des vésicules géantes multilamellaires (de taille supérieure à 20 mm ). Ces vésicules apparaissent dès la CMC (concentration micellaire critique), montrant que l'AOT ne forme pas de micelles, contrairement à ce qui est observé pour la plupart des tensioactifs solubles. Notons que ces solutions ont une concentration très faible en AOT (0.14 à 0.3%w) et que, par conséquent, leur viscosité au repos est très proche de celle de l'eau.

Des études menées par ailleurs montrent que des vésicules modèles, formées de tensioactifs insolubles, n'ont qu'une réponse très faible à un cisaillement : la viscosité de la solution ne change presque pas, et la déformation des vésicules reste très petite.

Contrairement à ces observations, la viscosité de la solution d'AOT augmente, sous cisaillement constant, dramatiquement avec le temps pour atteindre un plateau aux temps longs. L'augmentation de la viscosité est d'autant plus élevée que le cisaillement est faible. Cette viscosité peut atteindre jusqu'à 400 fois la viscosité de l'eau, bien que la concentration en AOT soit très faible. Le plateau de viscosité est atteint après un temps de cisaillement d'autant plus long que le cisaillement est faible (ce temps peut atteindre jusqu'à 8 heures dans les expériences réalisées au laboratoire).

Une visualisation directe de la solution permet d'établir la cause de cette augmentation de la viscosité. Les vésicules d'AOT sont très facilement déformables, ce qui entraîne de grandes déformations sous cisaillement : un réseau interconnecté de tubes multilamellaires se forme qui explique l'augmentation de viscosité. Ce système, par rapport aux vésicules modèles, présente deux grandes différences qui sont :

(i) la présence de tensioactif en solution (car l'AOT est soluble) qui facilite la déformation. En effet, lorsqu'une membrane est étirée, du tensioactif provenant des molécules solubilisées peut s'incorporer dans la membrane, ce qui diminue sa réponse élastique;

(ii) d'autres expériences, ont démontré la grande perméabilité des membranes d'AOT, ce qui veut dire que, contrairement à ce qui est observé pour les tensioactifs insolubles, le volume intérieur des vésicules n'est pas conservé. Ce dernier point contribue aussi à facilité la déformation des vésicules observée dans l'expérience.

Phys. Rev. Lett. 81 (1998) 4268

Vésicules étirées par un cisaillement. On observe la formation d'un réseau de tubes, et parallèlement la formation de grandes inhomogénéités dans le système 

 

Référence :

Large deformations of giant floppy vesicles in shear flow, N. Shahidzadeh, D. Bonn, O. Aguerre-Chariol, J. Meunier, Phys. Rev. Lett. 81 (1998) 4268

Rhéologie de phases lamellaires et éponges.

A. Léon, D. Bonn, J. Meunier, collaboration avec A. Al-Kahwaji, O. Greffier, H. Kellay (Université de Bordeaux)

Les liquides moléculaires sont habituellement qualifiés de fluides newtoniens. Si l'on confine un tel fluide entre deux plaques parallèles et que l'on déplace l'une des plaques parallèlement à l'autre, on dissipe de l'énergie à cause de la viscosité du fluide. Celle-ci est défini comme le rapport entre la force par unité de surface, la contrainte, sur les plaques et le gradient de vitesse dans le fluide, c'est à dire le cisaillement, qui résulte de leur mouvement relatif. Pour des fluides newtoniens la viscosité est par définition constante.

Dans les fluides dits "complexes" comme des solutions de macromolécules ou dispersions colloïdales il peut y avoir un couplage entre la vitesse locale du fluide d'une part, et la concentration ou des degrés de libertés internes au système d'autre part. Si un tel couplage est présent, on peut anticiper que la viscosité du fluide devient fonction du cisaillement auquel est soumis ce fluide. Il n'y a donc plus de relation linéaire entre contrainte et cisaillement, et le fluide est qualifié de non-newtonien.

L'un des exemples les plus pertinents de couplage entre cisaillement et degrés de liberté interne est donné par les solution de tensioactifs. Au repos, en fonction de différents paramètres physico-chimiques (salinité, présence de co-tensioactifs) et thermodynamiques (température, concentration), les tensioactifs s'auto-organisent pour former un multitude de phases. Lorsque l'une de ces phases est soumise à un cisaillement, on observe souvent des changements d'organisation ; il existe plusieurs exemples de transitions de phases hors équilibre induites par le cisaillement. L'une des questions fondamentales qui se posent est par conséquent comment le diagramme de phases d'équilibre est modifié lorsque le système est soumis à un cisaillement.

Les études réalisées au laboratoire concernent la rhéologie de solutions d'un surfactant, l'AOT, dont le diagramme de phases à l'équilibre et a concentration d'AOT fixe (7 % par poids) fait apparaître successivement, lorsque la salinité croit, une phase lamellaire à basse salinité et une phase éponge à haute salinité. Pour des salinités intermédiaires, il y a une région de coexistence entre ces deux phases. Dans ces phases, les molécules de tensioactif sont organisées en bicouches constituées de deux couches de tensioactifs. Ces bicouches s'organisent spontanément a basse salinité en formant un empilement, d'où le nom "phase lamellaire". Dans la phase éponge les bicouches ou membranes sont multiconnnectées et divisent l'espace en deux sous-espaces non connectés ; la seule différence entre ces deux phases est donc une différence dans la topologie des bicouches.

La phase lamellaire à basse salinité (S < 0.5%) se présente sous forme d'un "gel" visqueux rhéofluidifiant. Au microscope, on reconnaît la texture d'une phase lamellaire remplie de défauts du type oignons. Entre S = 0.5% et 0.9%, la phase lamellaire est beaucoup plus fluide. Il s'agit d'une phase lamellaire présentant quelques défauts de type stries huileuses. La viscosité de cette dernière phase est relativement basse car les différentes lamelles peuvent facilement "glisser" les unes sur les autres. Cependant, soumise a un cisaillement, cette phase se transforme en une phase qui a les mêmes caractéristiques que la phase à basse salinité. Les études réalisées au LPS montré que le cisaillement nucléé des défauts de type oignons: il se forme des défauts qui interconnectent les membranes. Ces défauts empêchent le glissement des membranes, et mènent donc a un système extrêmement visqueux : un gel de tensioactif se forme. Ces études ont conduit a proposer un modèle qui relie directement la barrière de nucléation au coût énergétique associé à la formation de défauts de type oignon.

L'étude d'une transition de phases sous cisaillement, a été réalisée sur la phase éponge. Pour des salinités comprises entre S = 0.9 et 1.1%,, et à l'équilibre thermodynamique, il y a coexistence des deux phases, lamellaires et éponge, ce qui souligne le caractère discontinue (transition de phase du premier ordre) de la transition lamellaire-éponge. Au-dessus de S=1.1 %, seule subsiste la phase éponge L3. Soumise a un cisaillement fort sur des temps longs, cette phase se transforme en une phase lamellaire avec défauts de type oignons qui a les mêmes caractéristiques que la phase lamellaire à basse salinité. Les études réalisées au laboratoire ont montré que le changement de phase obéit à la loi de Poisson : c'est un phénomène aléatoire. De plus, une observation directe dans la cellule de cisaillement permet d'observer la nucléation et croissance de la nouvelle phase. La transition de phases dynamique est donc du premier ordre. L'interprétation théorique de ces expériences montre que la nucléation se fait sous forme d'un noyau bidimensionnel. Ces observations confirment que, même sous cisaillement fort, le caractère discontinue de la transition éponge-lamellaire est conservé, contrairement ce qui avait été prédit théoriquement.

Références :

Coupling between flow and structure for a lamellar surfactant phase, A. Léon, D. Bonn, J. Meunier, A. Al-Kahwaji, O. Greffier, H. Kellay, Phys. Rev. Lett. 84 (2000) 1335

Shear-induced first order sponge to lamellar transition in a lyotropic surfactant system, L. Aurelien, D. Bonn, J. Meunier, A. Al-Kahwaji, H. Kellay, Phys. Rev. Lett. 86 (2001) 938

Bistabilité.

 D. Bonn, J. Meunier, A. Léon, Collaboration H. Kellay, A. Al-Kahwaji, O. Greffier (Université de Bordeaux)

Bien que le domaine des 'transitions de phases' ou 'séparation de phases' induites par un écoulement ait fait l'objet d'une grande activité dernièrement, il reste beaucoup de problèmes à résoudre. L'équipe Bonn/Meunier a contribué au problème (plutôt qu'apporter des réponses au problème) en étudiant les propriétés rhéologiques de phases lamellaires de tensioactifs. Dans cette phase, il peut se former des défauts qui interconnectent les membranes. Ces défauts empêchent le glissement des membranes, et mènent donc a un système extrêmement visqueux: un gel de tensioactif.

Les propriétés rhéologiques de ces gels sont très intéressantes car ce fluide est extrêmement rhéofluidifiant (rhéofluidifiant signifie que la viscosité apparente décroît avec le taux de cisaillement). L'équipe a démontré que la forte dépendance de la viscosité avec le cisaillement mène à une bistabilité du système. Si l'on varie la contrainte appliquée au système par le rhéomètre, on voit apparaître un plateau de cette contrainte en fonction du cisaillement. En revanche, si l'on varie le cisaillement et mesure la contrainte, on observe une boucle de type van der Waals, tout à fait analogue a ce qui est habituellement observé lors d'une transition de phase à l'équilibre. L'observation du plateau signale une bistabilité : la viscosité étant par définition le rapport entre contrainte et cisaillement, le plateau signifie qu'il y a plusieurs viscosités dans le système pour une même contrainte.

Une visualisation directe sous cisaillement permet de comprendre ces observations: lorsqu'on atteint le plateau de contrainte, une séparation du système en deux phases différentes se produit; la nouvelle phase apparaît sous forme de "bandes de cisaillement" dans le système. Néanmoins, l'analogie très répandu avec les transitions de phase s'arrête là. Il est en fait impossible de définir un "paramètre de contrôle", comme la température dans une vraie transition de phase. Le paramètre pertinent semble être le cisaillement, mais on démontre facilement que celui-ci varie en fait spatialement dans le système, et ne peut donc pas figurer comme paramètre de contrôle. Le problème reste donc grand ouvert et fait actuellement l'objet d'études dans le groupe sur ce systèmes et d'autres systèmes dans lesquels la bistabilité a été observée.

Référence :

Bistability in non-Newtonian flow: Rheology of lyotropic liquid crystals, D. Bonn, J. Meunier, O. Greffier, A. Al-Kahwaji, H. Kellay, Phys. Rev. E 58, (1998) 2115.

Projets.

Les bandes observées dans ces solutions cisaillées dans un couette, le long du plateau de contrainte, sont horizontales. Dans d'autres types de solutions, des plateaux de contrainte en fonction du cisaillement ont aussi été observés, mais avec une structuration verticale dans la solution. Enfin, pour d'autres solutions aucune structuration n'a pu être mise en évidence. plusieurs phénomènes ont été avancés pour expliquer ce plateau de contrainte : instabilités dans les écoulements, transitions de phases sous cisaillement… La question qui se pose maintenant est y a-t-il plusieurs processus ou peut-on unifier ces différentes explications?

Un projet de réseau CEE sur le sujet a été déposé.

Viscosité, contraintes normales et viscosité elongationelle.

D. Bonn, A. Lindner, Collaborations, J. Vermant, P. Moldenaers, (Université Leuven, Belgique)

Le tenseur de contraintes des solutions, même diluées, de polymères peut être très différent de celui du solvant seul. L'idée habituelle qu'une description en termes d'une viscosité non-newtonienne (c'est-à-dire, une viscosité qui dépend du cisaillement) suffit, s'est révélée faux, et il faut aussi tenir compte, dans certains cas, des effets élastiques. D'une façon générale, on peut remarquer trois différences dans le tenseur de contrainte d'une solution diluée de polymères, par rapport à celui du solvant :

(i) une viscosité non-newtonienne

(ii) des effets de contraintes normales

(ii) une viscosité élongationelle très élevée

La viscosité non-newtonienne est bien connue, les deux autres effets sont souvent négligés. Pour des solutions diluées de polymères flexibles, ces deux derniers effets peuvent néanmoins largement dominer la contrainte visqueuse. Ils trouvent leur origine dans l'étirement des chaînes polymériques. Dans un écoulement de cisaillement, cet étirement mène à une force (contrainte) supplémentaire qui est perpendiculaire à la direction de la vitesse. Cette force est due au fait que les chaînes sont étirées et ont tendance à revenir à leur conformation d'équilibre, ce qui entraîne une contrainte élastique. De même, pour un écoulement élongationnel (un écoulent convergent, par exemple dans un entonnoir), l'étirement des chaînes mène à une résistance très importante à cet étirement : c'est la viscosité élongationelle.

La viscosité non-newtonienne est facile à mesurer avec un rhéomètre commercial. En ajoutant un système de mesure spécialement conçu pour la mesure des solutions diluées de polymères, il est maintenant possible de mesurer la contrainte normale dans ces solutions, avec ce même rhéomètre. En revanche, la viscosité élongationelle pose problème. En fait, la mesure de cette viscosité a toujours été un grand problème en génie des procédés, aucune réponse satisfaisante et claire n'ayant été apportée

Nature 405 (2000) 772

Comparaison entre la viscosité élongationelle obtenue à l'aide d'une équation constitutive (traits) et celle mesurée avec un rhéomètre elongationel (ronds); les deux courbes sont obtenues pour deux concentrations différents du même polymère.

Cette équipe a proposé une nouvelle méthode de déduction de la viscosité élongationelle. On utilise d'abord la remarque suivante : les forces normales et la viscosité élongationelle ont même origine : l'étirement des chaînes de polymères. Ensuite, on utilise ce qui est communément appelé une 'équation constitutive', c'est-à-dire une équation qui relie contrainte et déformation. On résout cette équation pour un écoulement de cisaillement ce qui permet d'obtenir la viscosité et la contrainte normale en fonction du cisaillement. L'équation utilisée (FENE-P) comporte deux paramètres ajustables : le temps de relaxation des polymères et l'amplitude des forces élastiques. Ces deux paramètres sont obtenus en ajustant les résultats expérimentaux concernant la viscosité et la contrainte normale en fonction du cisaillement avec les expressions déduites de l'équation constitutive. Ainsi les valeurs des paramètres entrant dans cette équation sont complètement déterminées. Il ne reste qu'à calculer la réponse donnée par l'équation lorsque l'écoulement est élongationnel, ce qui conduit à la viscosité élongationelle. À titre de vérification, la figure montre la comparaison de ces résultats avec ceux du seul rhéomètre permettant d'avoir au moins une idée de cette viscosité. Les résultats sont en excellent accord, soulignant la validité de la procédure proposée. (Publication soumise)

Formation et impact de gouttes.

D. Bonn, V. Bergeron, J. Meunier, collaborations : Y. Amarouchene, H. Kellay (Université de Bordeaux) J.-Y. Martin, L. Vovelle (RHODIA recherche)

Une des conséquences intéressantes des propriétés rhéologiques de ces solutions très diluées de polymères est que, lors du détachement d'une goutte, il peut se former de longs filaments. La formation d'une goutte liquide à partir d'un orifice a été étudiée. On observe une nette différence de comportement selon que le liquide (de l'eau) a dissous ou non du polymère : l'eau pure forme facilement des gouttes qui se séparent, tandis que l'ajout de polymères mène à la formation de longs filaments.

La présence de polymères inhibe donc la singularité en temps fini qui permet à la goutte d'eau de se détacher d'un orifice. Après un intervalle de temps ou un rétrécissement se forme avec une dynamique self similaire comme pour un liquide pur, un long filament cylindrique se apparaît dont le diamètre décroît exponentiellement avec le temps. Le changement de régime correspond au moment où le taux d'élongation devient comparable à l'inverse du temps de relaxation du polymère. Les images de ces filaments permettent donc elles aussi de remonter à la viscosité elongationelle. Cependant, la viscosité elongationelle qui se déduit de la balance des forces sur le filament montre en fait que celle-ci augmente au cours du temps. Les chaînes n'ont donc pas atteint leur étirement maximal, et l'état stationnaire n'a pas pu être atteint tout au moins pendant la période de temps ou le diamètre du filament est mesurable sur les images car pas trop fin

Une application surprenante et assez spectaculaire de ces longs polymères flexibles à l'agriculture a pu être récemment comprise. L'un des problèmes majeurs pour les agriculteurs est l'application d'herbicides ou pesticides sur des feuilles de plantes. Ceux-ci sont habituellement appliquées sous forme d'aérosols : une solution ou dispersion aqueuse est préparée et pulvérisée sur les feuilles. Le grand difficulté rencontré lors de l'application provient de ce que les feuilles de plantes sont pour la plupart couvertes d'une couche de cire naturelle, et par conséquent hydrophobe.

L'hydrophobicité des feuilles a pour grave conséquence que les gouttes qui ont le bon goût de tomber sur les feuilles n'y restent pas. Bien qu'elles s'étalent initialement, elles se rétractent rapidement ; si rapidement en fait qu'une grande partie de la goutte rebondit et se détache de la surface. Les enregistrements fait à l'aide d'une camera rapide permet de comparer l'impacte d'une goutte d'eau et d'une goutte de solution de polymère sur une surface hydrophobe modèle sont très révélateurs. La vitesse d'impacte, comparable a celle rencontrée dans la situation réelle dans les champs, est si élevée que l'inertie des gouttes domine complètement les deux premiers stades du contact : l'impacte et l'étalement. Par contre, il y a une différence tres significative au troisième stade, celui de la rétraction. La goutte d'eau rebondit en grande partie, et il n'est pas difficile d'imaginer que lorsque ceci se passe sur une feuille de plante légèrement inclinée, la plus grande partie de la goutte, et par conséquent du pesticide tombe sur le sol. En revanche, l'ajout d'une quantité infime du polymère long et flexible ralentit la rétraction d'une façon telle que le rebond n'est plus observé. Des essais de laboratoire montrent que l'efficacité d'application peut augmenter jusqu'à 70 % en joutant le polymère.

Il est important de se réaliser que la rétraction de la goutte constitue pour une grande part un mouvement d'étirement : lorsqu'on imagine la goutte comme un cube, au cours de l'étalement elle devient un parallélépipède avec son axe cours perpendiculaire à la surface. On peut donc conclure que c'est de nouveau la viscosité elongationelle élevée de ces solutions qui résiste a l'étirement, lors de la rétraction de la goutte. La rétraction devient alors suffisamment lente pour que la ligne triple de la goutte finisse par s'ancrer sur les défauts de la surface et y rester figée.

Références.

Inhibition of a finite time singularity in droplet fission of polymeric fluids, Y. Amarouchene, D. Bonn, J. Meunier, H. Kellay, Phys. Rev. Lett., 86, 3558 (2001).

Impact and retraction of viscoelastic drops, V. Bergeron, D. Bonn, J.-Y. Martin, L. Vovelle Nature, 405 (2000) 772

Projets.

L'usage d'un très long polymère, l'ADN, traité pour être rendu fluorescent devrait permettre de visualiser l'étirement de ces molécules lors d'une élongation (dans un filament lors du détachement d'une goutte, ou lors de l'impact d'une goutte sur un support hydrophobe). L'expérience est en cours de montage.

Ondes de surface : application de l'instabilité de Faraday à la rhéologie de solutions de polymères

S. Fauve, S. Kumar (postdoc), collaboration F. Raynal (ENS-Lyon)

Des ondes peuvent être amplifiées paramétriquement à la surface d'une couche de fluide soumise à un mouvement vibratoire vertical (instabilité de Faraday). L'étude de l'instabilité de Faraday avec une solution de polymères a été effectuée en collaboration avec F. Raynal, (post-doc à l'ENS-Lyon) puis S. Kumar (postdoc à l'ENS-Paris). L'idée a été d'utiliser l'instabilité afin de mesure r des propriétés rhéologiques de ces fluides non-Newtonien. L'effet rhéofluidifiant de ces solutions de polymères, c'est à dire la diminution de la viscosité lorsque la fréquence augmente, a été confirmé. Cet effet est bien connu mais l'avantage de mesures de rhéologie en utilisant l'instabilité de Faraday est d'une part, l'absence de tout filtrage dû à l'inertie d'un l'appareil de mesure conventionnel, d'autre part le fait que l'étude du seuil d'instabilité permet de déterminer sélectivement les coefficients des termes linéaires alors que beaucoup de rhéomètres utilisent un cisaillement d'amplitude finie. Par ailleurs, le problème éventuel d'un glissement du fluide à la paroi mobile d'un rhéomètre conventionnel ne se pose pas.

L'analyse de stabilité linéaire, effectuée en utilisant les modèles classiques de fluides non Newtoniens, a montré un excellent accord avec les résultats expérimentaux.

Références

Faraday instability with a polymer solution, F. Raynal, S. Kumar and S. Fauve, European Phys. J. B 9 (1999) 175.

Parametrically driven surface waves in viscoelastic liquids, S. Kumar, Physics of Fluids 11 (1999).

Ecoulements dans les milieux granulaires.

S. Douady, B. Andreotti, L. Quartier, A. Daerr.

Le passage d'un milieux granulaire de l'état immobile (solide) au mouvement (liquide) est étudié dans cette équipe à travers plusieurs expériences et modèles.

- Tac-Tac : cette première expérience consiste à étudier la dynamique d'une bille le long d'une série de creux et de bosses, modélisant une bille roulant à la surface d'un tas. Elle permet d'observer simplement les trois états granulaires : l'immobilité, piégée dans le creux des billes en dessous, l'écoulement à vitesse constante, et l'écoulement en régime infiniment accéléré (gazeux). La simplicité de l'expérience permet à la fois de calculer le mouvement et de tout mesurer. Cela permet de comprendre l'origine des angles observés : celui à partir duquel le sable se met spontanément à couler, celui en dessous duquel le sable s'arrête, et enfin celui au dessus duquel l'écoulement dense se gazéifie. On peut aussi mesurer les forces effectives, et montrer que même avec les hypothèses d'une bille roulant sans glisser et avec des chocs inélastiques, on retrouve une force effective correspondant à un frottement solide.

- Modélisation à l'aide du modèle en couches : une fois compris le mouvement d'une bille, une simulation numérique a été réalisée pour des couches de grains coulants les unes sur les autres. On suppose comme auparavant des roulements sans glissements. On suppose que les chocs se transmettent non seulement à la couche du dessous mais aussi à toutes les autres couches inférieures (toujours en contact). Les résultats permettent d'expliquer l'apparition d'une profondeur sélectionnée pour l'écoulement qui n'a lieu qu'en surface, par la non-localité des chocs et le piégeage des grains dans les creux. Ils expliquent aussi la forme particulière du profil de vitesse dans cette couche en mouvement, globalement linéaire, ainsi que le maximum du gradient de vitesse près de la surface libre. Ce gradient de vitesse à la surface se trouve d'ailleurs correspondre à la vitesse d'une seule bille, ce qui montre qu'une couche, grâce à ces chocs non-locaux, coule sur la couche inférieure comme si celle du dessous restait immobile et solide.

- Modélisation par équation de type St Venant. On a proposé une modélisation des écoulements de surface des milieux granulaires utilisant les équations de conservation de la masse et de l'impulsion intégrées dans la hauteur (St Venant). Le fait que la profondeur de l'écoulement, contrairement à un liquide, n'est pas a priori connue ajoute une inconnue et rend le problème ouvert. Pour le fermer on utilise le résultat précédent sur le profil de vitesse (linéaire avec un gradient de vitesse à peu près constant), ce qui permet de répartir les variations d'impulsion entre les variations de hauteur de l'écoulement et les variations de vitesse. On utilise de plus les premiers résultats pour écrire une force globale à laquelle la couche en écoulement est soumise et qui reproduise l'hystérésis entre l'angle de démarrage et d'arrêt. Ce type de modélisation est testé dans des expériences d'écoulement de milieux granulaire entre deux plaques de verre.

- Avalanches sur plan incliné. L'étude des avalanches qui peuvent se produire pour une couche de grains préalablement déposée sur un plan rugueux a fait le contenu de la thèse d'Adrian Daïra (2000). A. Daïra a d'abord quantifié la perturbation nécessaire pour initier un mouvement dans la plage d'angle située entre l'angle de démarrage spontané et l'angle d'arrêt spontané, montrant que cela correspondait bien à une instabilité sous-critique, la perturbation nécessaire étant très importante près de l'angle d'arrêt et devenant nulle à l'angle de démarrage. Ensuite il a montré la transition entre deux régimes d'avalanches, le premier où les grains en mouvement descendent en entraînant leurs voisins et en laissant une trace triangulaire, une deuxième ou le creux laissé par l'écoulement est suffisamment important pour entraîner aussi les grains situés au dessus du point de démarrage de l'avalanche : on a alors un front de démarrage qui remonte la pente et fini par envahir tout le plan. Ces deux régimes et leur transition sont bien reproduits par le modèle de St Venant proposé.

Adrian Daïra s'est aussi intéressé à la vitesse et l'amplitude des avalanches. Il a trouvé que ces deux grandeurs saturent alors que la masse de grains mis en mouvement augmente continûment. Par des mesures de profil de hauteur et de vitesses superficielles (par PIV), il a pu montrer que l'amplitude des avalanches est limitée par la profondeur de la couche immobile : l'avalanche ne peut plus augmenter son amplitude lorsque la profondeur sur laquelle elle coule atteint le plan rugueux fixe. La masse continûment gagnée s'étale alors à l'arrière du front avant d'avalanche, en raison du profil de vitesse qui fait que les parties moins épaisses vont moins vite.

Références.

Sensitivity of granular surface flows on preparatio, A. Daerr and S. Douady, Europhys. Lett. 47 (1999) 324

Two types of avalanche behaviour in granular media, A. Daerr and S. Douady, Nature 399 (1999). 241

On granular surface flow equations, S. Douady, B. Andreotti and A. Daerr, Eur. Phys. J. B 11 (1999) 131

Dynamics of a grain on a sandpile model, L. Quartier, B. Andreotti, S. Douady and A. Daerr, Phys. Rev. E 62 (2000) 8299

Selection of velocity profile and flowing depth in granular flows, B. Andreotti and S. Douady, Phys. Rev. E 63 (2001)1305

Dynamical equilibrium of avalanches on a rough plane, A. Daerr, to appear in Physics of Fluids (2001)

On scaling laws in granular flows down a rough plane, B. Andreotti, A. Daerr and S. Douady, submitted to Physics of Fluids

The four types of fronts of granular avalanches, P.Cladé, B. Andreotti and S. Douady, Preprint.

Formation of sandpiles, avalanches on an inclined plane, S. Douady and A. Daerr in Physics of Dry Granular Media, H.J. Herrman et al. Eds, pp. 339-346, Kluwer Academic Publishers (Netherlands) (1999).

 

Propagation des avalanches.

 Y. Pomeau, collaboration L. Mahadevan (MIT)

Y. Pomeau a fait un petit travail sur des équations de propagation des avalanches dans un granulaire, où sa contribution essentielle a consisté à remarquer que ces équations, déjà abondamment étudiées par les physiciens était en fait du type des équations quasi linéaires, résolues par Riemann pour les ondes simples. Ceci a pour conséquence (également non aperçue) qu'elles ne constituent pas un problème de Cauchy bien posé : il faut leur adjoindre des termes de type diffusion pour les régulariser, ce qui semble bien expliquer la formation de chocs remontant la pente.

Références :

 Propagating fronts on sandpile surfaces, L. Mahadevan and Y. Pomeau, Europhys. Lett. 46, p. 595-601 (1999)

Propagation d'ondes élastiques dans un réseau de billes en contact de Hertz.

 S. Fauve, E. Falcon (postdoc), C. Coste (visiteur), collaboration avec C. Laroche (ENS-Lyon).

L'étude des processus de collision et la propagation de déformations élastiques dans des empilements granulaires a été initialement motivée par l'observation suivante: la simulation numérique d'un "gaz" de particules subissant des collisions inélastiques peut donner lieu à une infinité de collisions en une durée finie (S. McNamara et W. Young). Ceci se produit aussi dans le cas beaucoup plus simple d'une bille rebondissant sur un plan avec un coefficient de restitution inférieur à 1 ; la bille dissipe toute son énergie cinétique initiale en un temps fini après avoir effectué un nombre infini de collisions, dont la fréquence tend donc vers l'infini. Ceci est dû à la modélisation de la collision par un coefficient de restitution constant. Il doit exister dans la pratique une fréquence de coupure et ce processus a été étudié en détail. Le principe de la mesure a été simplement de faire rebondir la bille sur un capteur et d'enregistrer la force due à chaque collision. Cela nécessite juste un dispositif d'acquisition de signal assez performant dans la mesure où il faut résoudre la durée d'une collision (quelques microsecondes) mais aussi enregistrer la totalité du processus. Il s'avère que la pesanteur ne peut être négligée à la fin du processus (lorsque les rebonds sont d'amplitude très faible). Le régime de rebonds est alors remplacé par un autre où la bille oscille sur le plan du capteur sans le quitter.

L'étape suivante a été l'étude de la collision d'une ligne de N billes en contact avec un plan. Là aussi des phénomènes inattendus pour une configuration expérimentale aussi simple, ont été observés : la force maximum ressentie par le capteur est indépendante du nombre N de billes ; pendant la durée de la collision cette force a un comportement oscillant (tout en gardant un signe constant). On observe une redistribution des vitesses après le rebond de la colonne de billes : celles du haut, rebondissent en premier, l'une après l'autre, animées de vitesses supérieures à leur vitesse incidente. Celles du bas rebondissent en bloc avec une vitesse beaucoup plus faible. Ces phénomènes ont été compris à l'aide d'une étude numérique de la propagation d'ondes élastiques dans une chaîne de billes en contact de Hertz. La collision engendre la formation d'ondes solitaires, en raison de la non-linéarité de la loi de Hertz ; celles-ci effectuent des allers-retours le long de la ligne de billes et affectent profondément la dynamique du rebond de la colonne. Ces ondes solitaires ont été mises en évidence dans une chaîne de billes fixes en contact et un excellent accord avec une prédiction théorique établie par Nesterenko dans la limite de grande longueur d'onde a été observée.

Un aspect important concerne la robustesse des effets observés ou leur modification dans des empilements granulaires à deux ou trois dimensions. Lors de son séjour au LPS, C. Coste a montré que la loi de comportement de la vitesse de propagation du son dans un empilement granulaire soumis à une contrainte statique, dépend de la dimension de l'empilement en raison du désordre des contacts. Il poursuit ces études au GPS (Paris 7) en collaboration avec B. Gilles (ENS-Lyon).

Références :

Solitary waves in a chain of beads in Hertzian contact, C. Coste, E. Falcon and S. Fauve, Phys. Rev. E 56 (1997) 6104.

Behavior of one inelastic ball bouncing repeatedly off the ground, E. Falcon, C. Laroche, S. Fauve and C. Coste, European Phys. J. B 3 (1998) 45.

Collision of a 1-D column of beads with a wall, E. Falcon, C. Laroche, S. Fauve and C. Coste, European Phys. J. B 5 (1998) 111

Gaz de sphères dures avec collisions inélastiques.

S. Fauve, E. Falcon (postdoc), collaborations Y. Garrabos, R. Wunenburger (ICMCB), P. Evesque (Ecole centrale de Paris), D. Beysens (CEA-Grenoble).

Les propriétés statistiques du gaz de sphères dures sont bien connues dans le cas de collisions élastiques. Un problème qui a été motivé par l'étude des milieux granulaires consiste à se demander quels sont les nouveaux comportements qualitatifs qui peuvent résulter de l'inélasticité des collisions. Ceci a été étudié tout d'abord au laboratoire en réalisant une expérience dans laquelle quelques centaines à quelques milliers de billes d'acier millimétriques, sont mises en mouvement à l'aide d'un piston vibrant dans une cellule cylindrique. La mesure de la pression moyenne exercée par les billes sur les parois en fonction du volume, du nombre de particules et de l'amplitude et de la fréquence de vibration, a permis de déterminer expérimentalement "l'équation d'état" du gaz de particules avec collisions inélastiques. La pression ou la "température granulaire" ne sont pas proportionnelles au carré de la vitesse du piston, comme le prédit la théorie cinétique. De plus, au-delà d'une densité critique de particules, la pression diminue lorsque le nombre de particule augmente. Il en résulte que l'état de densité homogène du "gaz" devient instable et que l'on observe un phénomène d'agrégation des particules qui se mettent à rebondir sur le piston à la manière d'un corps solide. Cet effet a ensuite été confirmé à l'aide d'une expérience réalisée en microgravité (fusée Texus) dans le cadre d'un projet de collaboration de l'Agence spatiale européenne avec D. Beysens, Y. Garrabos et P. Evesque. Au-delà d'une densité critique, le gaz homogène n'est pas stable et il se forme un amas de particules immobile au sein de la cellule.

 Ce travail a fait l'objet de Contrats avec le CNES et l'Agence spatiale européenne.

Références :

Cluster formation, pressure and density measurements in a granular medium fluidized by vibrations, E. Falcon, S. Fauve and C. Laroche, European Phys. J. B9 (1999) 183

Cluster formation in a granular medium fluidized by vibrations in low gravity, E. Falcon , R. Wunenburger, P. Evesque, S. Fauve, C. Chabot, Y. Garrabos, and D. Beysens, Phys. Rev. Lett. 83 (1999) 440

Experimental determination of a state equation for dissipative granular gases, E. Falcon, S. Fauve and C. Laroche, J. Chim. Physique 96 (1999) 1111.

Heap corrugation and hexagon formation of powder under vertical vibrations, E. Falcon, K. Kumar, K. M. S. Bajaj and J. K. Bhattacharjee, Phys. Rev. E59 (1999) 5716.

Shape of convective cell in Faraday experiment with fine granular materials, K. Kumar, E. Falcon, K. M. S. Bajaj and S. Fauve, Physica A270 (1999) 55

Fluctuations de puissance injectée dans des systèmes dissipatifs hors de l'équilibre.

 S. Fauve, J. Farrago (postdoc)

L'étude de grandeurs physiques moyennes et de leurs fluctuations telle que la puissance injectée présente un intérêt dans tout système dissipatif maintenu par un forçage dans un état hors de l'équilibre mais statistiquement stationnaire. Par exemple dans un milieu granulaire constitué de N sphères dures n'interagissant que par l'intermédiaire de collisions inélastiques, un état stationnaire nécessite un forçage qui va compenser la perte d'énergie due à l'inélasticité des collisions; celui-ci peut être réalisé en faisant vibrer les parois délimitant le volume de ce gaz granulaire. Pour des paramètres de vibration fixés (amplitude et fréquence), on peut se demander quelle est l'énergie cinétique moyenne par particule ("température granulaire") ou la puissance moyenne dissipée ou injectée en fonction du nombre de particules et de l'inélasticité des collisions. On peut également essayer de caractériser les propriétés statistiques des fluctuations de puissance dissipée ou injectée. Même avec un coefficient de restitution très proche de 1, les régimes cinétiques de ce gaz granulaire diffèrent profondément de ceux du gaz de sphères dures avec collisions élastiques. Ainsi, il a été mis en évidence expérimentalement que pour certaines valeurs des paramètres, le régime de densité homogène est instable et les particules forment spontanément un agrégat (voir paragraphe 2b). Une grandeur qui semble jouer un rôle fondamental dans tous ces exemples de systèmes dissipatifs hors de l'équilibre est la puissance injectée nécessaire au maintien d'un état statistiquement stationnaire. Il a été démontré rigoureusement mais pour des systèmes dissipatifs satisfaisant à des hypothèses peu réalistes, que la loi de probabilité de la puissance injectée possède une propriété type loi de grandes déviations, qui généralise le théorème fluctuation-dissipation et permet donc de définir une "température" pour ces systèmes hors de l'équilibre (Gallavotti-Cohen).

L'étude numérique de quelques systèmes dissipatifs, modèle en couches de la turbulence, gaz de sphères dures avec collisions inélastiques, modèle de Burridge-Knopoff, nous a permis de constater que cette loi reste approximativement vérifiée dans des cas plus réalistes.

Depuis l'arrivée en postdoc de J. Farrago, l'étude théorique des propriétés génériques de la puissance injectée dans des systèmes dissipatifs a été entreprise sur des exemples simples (équations de Langevin avec potentiel harmonique ou non linéaire). Plus précisément, les questions suivantes se posent:

- existe-t-il une façon de prédire quelle est la puissance moyenne injectée dans un système dissipatif à l'aide de méthodes inspirées de la physique statistique ? Est-il possible de donner un fondement aux approches qui consistent à supposer l'existence d'un principe d'extremum ?

- Comment expliquer le caractère fortement non gaussien de la densité de probabilité des fluctuations temporelles de la puissance injectée observée expérimentalement, alors que cette quantité résulte d'une moyenne spatiale sur l'ensemble du système et que celui-ci ne comporte a priori pas de corrélations à longue portée ?

- Ce caractère non gaussien est-il un effet de taille finie, comme une analogie avec un système à l'équilibre thermodynamique au voisinage d'une transition de phase pourrait le laisser penser ? Se rapproche-t-on d' une distribution gaussienne lorsque le nombre de degrés de liberté augmente (à la limite des grands nombres de Reynolds dans le cas de la turbulence) ou la loi de probabilité réduite reste-t-elle autosemblable et non gaussienne, comme semble le montrer les expériences ?

- Comment se comporte le rapport entre l'écart type des fluctuations de puissance injectée et sa valeur moyenne lorsque le nombre de degrés de liberté augmente ? Pourquoi n'observe-t-on pas la loi de décroissance usuelle caractéristique des systèmes à l'équilibre thermodynamique?

Publications :

Power injected in dissipative systems and the fluctuation theorem, S. Aumaître, S. Fauve, S. McNamara and P. Poggi, European Physical J. B 19 (2001) 449-460

Etude des fluctuations de grandeurs globales dans des systèmes dissipatifs hors de l'équilibre, S. Aumaître, thèse soutenue le 31-03-1999.

Mouvement de la ligne triple.

 Y. Pomeau, M. Ben Amar L. Cummings en collaboration avec Pismen L. (Technion, Israel), D.A. Beysens (CEA), L. Mahadevan (MIT)

Y. Pomeau est revenu à un sujet qui l'a toujours intéressé, celui de la ligne de contact mobile, ceci entre autres à la suite d'un séjour de Len Pismen au LPS. Il s'agit de comprendre comment peut se mouvoir la ligne de contact entre trois phases (liquide/vapeur/solide), par exemple lorsqu'une goutte glisse sur un support solide, si la vitesse du fluide est nulle au contact du solide. Ils ont montré comment une théorie de type van der Waals dynamique élimine la divergence (ce que l'on savait déjà) et surtout comment elle se prête à une analyse rationnelle dans la limite de lubrification. Une des conséquences de cette approche est que l'on peut faire apparaître un temps intrinsèque microscopique dans la dynamique de la ligne de contact. Or ce temps se trouve être associé à une transformation de phase (liquide-vapeur, en première approximation) ce qui rend plausible la présence d'un facteur d'Arrhenius dans des situations concrètes. Ils en ont déduit que, lorsque ce facteur est présent, le mouvement capillaire pouvait être complètement dominé par la (faible) mobilité de la ligne de contact plutôt que par l'équilibre entre forces visqueuses et tensions capillaires. Cette idée a été vérifiée de façon spectaculaire dans des expériences de Daniel Beysens, et plus récemment, dans la mise en évidence d'un point anguleux à l'arrière d'une goutte glissant sur un plan, en mouillage partiel (Limat, Podgorski et al).

Antérieurement, Y. Pomeau et un collègue du MIT, L. Mahadevan, avaient calculé la vitesse d'une goutte non mouillante roulant sur un plan incliné, vitesse d'autant plus grande que la goutte est plus petite. Les lois de ce mouvement ont été bien vérifiées par des expériences réalisée au Collège de France.

Plus récemment, Yves. Pomeau, L. Mahadevan et Mokhtar Adda-Bedia, se sont intéressés à un problème fort classique dans sa formulation, celui de l'équilibre d'un goutte composite de deux liquides et d'une vapeur reposant sur un solide. Ceci généralise la configuration classique de la goutte au repos sur un plan, un problème résolu par Laplace. Ils ont montré qu'il existe une sorte de palier dans l'espace des paramètres le long duquel les quatre phases (deux liquides, la vapeur et le solide) coexistent, alors qu'une analyse superficielle prédirait que cette coexistence n'a lieu que pour une valeur isolée d'un paramètre de contrôle.

Références :

Rolling droplet, L. Mahadevan and Pomeau Y., Physics of Fluids, 327, Série IIb, (1999). 155

Représentation de la ligne de contact mobile dans les équations de la mécanique des fluides Pomeau Y., C.R. Ac. Sci., Série IIb 328,. (2000) 1

Disjoining potential and spreading of thin films in the diffuse interface model coupled to hydrodynamics, Pismen L. Pomeau Y., Phys Rev E 62, 2480 (2000).

Coalescence of sessile drops, C. Andrieu, D.A. Beysens, V.S. Nikolaev. Pomeau Y, soumis à publication (Sept 2000)

Kinetic retardation effect in the moving contact line problem: I Analytical approach Y. Pomeau (Sept 2000)

Dewetting in the diffuse interface model coupled to hydrodynamics, U. Thiele, K. Neuffer, Y. Pomeau and M.G. Velarde, soumis (Sept 2000)

Points singuliers d'une ligne de contact mobile, M. Ben Amar, L. Cummings et Y. Pomeau, à paraître in CRAS, S2b/2001/23

Elasticité des plaques et films minces : apparition des plis lors du froissement.

Y. Pomeau, Martine Ben Amar, S. Rica, Y. Couder, M. Adda-Bedia, P. Patricio; A. Boudaoud, B. Audoly, collaboration Mahadevan (MIT)

Lorsqu'on manipule une plaque très mince (feuille de métal ou de papier), on provoque très aisément (sans forcer) des plis où se focalisent les contraintes internes du matériau. Cette focalisation entraîne un dépassement de la limite élastique, c'est donc un processus irréversible. En contrepartie, on peut très bien rouler en cylindre la feuille de papier et revenir à l'état initial. Ces plis se forment pour minimiser l'énergie élastique (donnée par la théorie de Von Karman), et surtout supprimer l'énergie de traction très coûteuse, la feuille de papier "tend" à se conformer à une portion de surface développable, devant toutefois s'accommoder aux contraintes externes. Ceci a amené M. Ben Amar et Y Pomeau à résoudre une équation aux dérivées partielles (correspondant à l'annulation de la courbure de Gauss) qui ne possède pas toujours de solutions sans singularité, la singularité la moins énergétique étant un point conique dit développable. En d'autres termes, à contour donné, le problème élastique conduit à rechercher une surface avec courbure de Gauss nulle de même que le problème de Plateau conduit à examiner l'existence de surface de courbure moyenne nulle. Une contrainte supplémentaire apparaît en élasticité : il faut rejeter les surfaces mathématiquement acceptables mais qui possèdent des auto-intersections car elles ne sont pas physique pour le problème des tôles froissée, alors que certaines de ces solutions sont acceptables pour les films de savons. Il faut par contre autoriser des surfaces possédant des singularités comme les points coniques ou les plis. M. Ben Amar et Y. pomeau se sont focalisés sur l'apparition d'un point conique qui doit de plus être développable pour minimiser au maximum l'énergie. Ils ont calculé l'énergie de ce point conique à géométrie fixée. Ces travaux ont suscité des expériences et extension au Chili et au MIT. Au laboratoire, une expérience modèle de froissement d'une demi-coque cylindrique encastrée soumis à une force localisée au centre a permis d'étudier le scénario d'apparition des singularités suivant l'intensité de la force. Les résultats expérimentaux ont été comparés avec succès à des simulations numériques effectués par P. Patricio (ancien thésitif et enseignant-chercheur au Portugal) et à un modèle théorique juxtaposant les d-cones [A. Boudaoud, P. Patricio, Y. Couder and M. Ben Amar].

Sir B. Pippard avait proposé dans les années 90 une expérience très simple de tige élastique encastrée aux deux bouts et soumise à une force en son milieu. La statique de cette tige contrainte présente un diagramme de phase très riche en fonction de l'intensité de la force, de l'écartement des parois et de l'angle d'encastrement. A faible contrainte, la tige prend des formes symétriques puis bifurque vers des formes dissymétriques. A l'époque, cette expérience dont les résultats expérimentaux avaient été rapportés avec soin, avait été interprétée de manière très qualitative par la théorie des catastrophes. P. Patricio, M. Adda-Bedia et M. Ben Amar ont repris les équations de l'élasticité des tiges et les ont intégrées numériquement. Ils ont ainsi retrouvé numériquement le diagramme de phase expérimental et proposé une théorie de bifurcation plus précise pour interpréter les positions et les instabilités de la tige.

A. Boudaoud, P. Patricio, Y. Couder and M. Ben Amar ont ensuite étendu cette expérience au cas d'une feuille roulée en demi cylindre et encastré suivant deux génératrices et sur laquelle est appliquée une force en un point a égale distance de ces deux génératrices. Ils ont suivi expérimentalement, numériquement et par une analyse en loi d'échelles l'apparition d'un méplat circulaire suivi de deux d-cones puis de quatre d-cones lorsque le forçage augmente. Lorsque les singularités coniques rejoignent les bords du cylindre, on retrouve une forme cylindrique flambée qui est une forme bidimensionnelle de l'arche de Pippard.

Y. Pomeau et B. Audoly se sont attelés à la tâche d'écrire une monographie sur " Elasticity and geometry " commise par Oxford University Press , monographie qui rassemblera cet ensemble de travaux sur l'élasticité des plaques et des coques minces.

Références :

Crumpled paper , M. Ben Amar and Y. Pomeau, Proc.R.Soc. Lond. A 453 (1997) 729

Dynamic of singularities in a constrained elastic plate, A. Boudaoud, P. Patricio, Y. Couder and M. Ben Amar, Nature 407 (2000) 718

An elastica problem: instabilities of an elastic arch, P. Patricio, M. Adda-Bedia et M. Ben Amar, Physica D 124, 285-295 (1998)

Plaques très comprimées, Y. Pomeau, S. Rica, C.R. Ac. Sci., t. 325, Série II, p. 181-187 (1997)

Buckling of thin plates in the weakly and strongly nonlinear regimes, Y. Pomeau, Philosophical Magazine B78 , 235, (1998)

Elasticity and geometry, B. Audoly et Pomeau Y., Peyresq Lectures on Nonlinear Phenomena, Ed. R. Kaiser and J. Montaldi, World Scientific (Singapore, 2000)

Projets.

Ces résultats sur les plaques en grandes déformations ouvrent la voie à une extension au cas des coques. Aux faibles déformations une balle de ping-pong adhère par un disque sur un plan mais au-delà d'une pression critique, la région du disque se retourne et le contact se fait le long d'un cercle. 

Instabilités d'origine élastique : fracture et friction.

 M. Ben Amar, M. Adda-Bedia, Y. Couder, S. Douady, Collaboration L. Pauchard et C. Allain (FAST, Université Paris Sud) F. Lund, R. Arias (Université du Chili), E. Sharon (Austin, Texas )

La fracture a particulièrement suscité l'intérêt des physiciens qui ont cru déceler dans ce domaine un nouveau type de systèmes dynamiques qu'ils pensaient incompris. L'une des premières expériences simple et typique a consisté à tremper une lame de verre chauffée à haute température et préalablement entaillée dans un bain froid. Le gradient thermique (que l'on peut modifier en changeant la vitesse de plongée) provoque une fracture lente (c'est-à-dire se propageant à vitesse très petite par rapport à la vitesse du son) qui passe d'un régime de propagation rectiligne à un régime de propagation oscillante. Pour expliquer cette bifurcation, paramétrée par la vitesse, le groupe du LPS a établi une analyse linéaire de stabilité de la propagation rectiligne d'une fracture en mode I à l'approximation quasi-statique. Il a émis un critère de stabilité qui a donné des résultats quantitativement très satisfaisants pour expliquer les seuils de bifurcation de cette expérience et d'autres expériences classiques dans la littérature de la fracture

Une continuation de ce travail a constitué à caractériser les différentes morphologies des fractures induites par le séchage de suspensions colloïdales. Dans ces systèmes, on observe que suivant les conditions expérimentales imposées, on peut engendrer des figures de fractures allant de simples fractures rectilignes, à des fractures en forme de paraboles ou des fractures enchevêtrées avec formes reproductibles [L. Pauchard, C. Allain, M. Adda-Bedia and Y. Couder]. Ce système expérimental à été à l'origine d'expériences conduisant à des fractures formant des dessins analogues à la nervation des feuilles. Ceci a permis de montrer que la formation des nervures est régie par l'existence d'un champ tensoriel, qui de plus a été identifié au champ de contraintes induit lors de la croissance des feuilles [Y. Couder, L. Pauchard, C. Allain, M. Adda-Bedia et S. Douady].

Récemment et suite à des travaux réalisés par d'autres groupes, M. Adda-Bedia et M. Ben Amar se sont intéressés à l'élastostatique d'un réseau de fractures parallèles. On suppose que ces fractures restent de dimension finie même lorsqu'une contrainte de mode I (tension) est appliquée. Cette situation est celle que l'on rencontre dans les milieux stratifiés, car la présence d'interfaces entre les couches bloque leur croissance. Lorsque la tension augmente, elle ne peut qu'entraîner l'apparition de nouvelles fractures entre les fractures existantes, la longueur d'onde du réseau de fracture se trouvant divisée par deux. On peut se demander quelle limite sera atteinte lorsque la tension tend vers l'infini, le pas du réseau devant tendre alors vers zéro, selon ce scénario. Il n'en est rien, comme le montre les observations et les simulations. M. Adda-Bedia et M. Ben Amar ont montré que Lorsque le pas du réseau atteint la longueur des fractures la fracturation s'arrête et fait place à la compression de la zone fracturée. Ils ont proposé un modèle pour justifier cette bifurcation et le fait que la zone entre deux fractures passe de l'état de tension à un état de compression interdisant ainsi une nouvelle nucléation. Ce modèle résolu exactement montre que lorsque les couches ont les mêmes coefficients élastiques, le pas minimal du réseau de fractures est donné par l'épaisseur h de la couche considérée. Il est important de bien comprendre ce phénomène qui peut conduire à de nombreuses applications en géophysique et dans l'industrie ; Il apparaît comme un mécanisme essentiel de la fracture des milieux stratifiés.

Une autre expérience, plus traditionnelle, consiste à étudier la dynamique d'une fracture rapide (vitesse comparable à celle du son) d'un milieu sous tension en fonction du temps. Lorsque la vitesse de la fracture dépasse des seuils caractéristiques, elle présente des morphologies variées : d'abord une série de micro-fissures apparaît, ensuite la fracture mère se met à osciller enfin des branchements apparaissent. Ces différentes instabilités empêchent la fracture d'atteindre la vitesse limite dite de Rayleigh (l'équivalent de la vitesse de la lumière, pour l'élasticité bidimensionnelle). M. Adda--Bedia, R. Arias, M. Ben Amar and F. Lund ont émis des hypothèses utilisant différents mécanismes qui permettent d'expliquer ces différents seuils d'instabilité. Les seuils ainsi prédits correspondent assez bien aux seuils expérimentaux, mais on doit regretter le peu de données expérimentales qui concernent un faible nombre d'échantillons. D'un point de vue formel, ils ont justifié le principe dit de "symétrie locale" que tout mécanicien utilise et l'ont étendu aux vitesses faibles (en gros 1/3 de la vitesse du son), c'est-à-dire dans le régime précédent les instabilités dynamiques.

Néanmoins, les études précédentes concernent la caractérisation du mouvement d'une fracture qui ne présente ni discontinuité dans sa vitesse de propagation, ni bifurcation brusque dans sa direction de propagation, ni de branchement en deux ou plusieurs fractures. Expérimentalement, on observe ce type de comportement quand la vitesse de la fracture atteint des fractions élevées de la vitesse des ondes élastiques du milieu considéré, cependant la dynamique de la rupture fragile est encore mal explorée du point de vue théorique. Les ondes engendrées par une propagation "singulière'' de la fracture sont sûrement responsables de l'instabilité dite de branchement [M. Adda-Bedia et E. Sharon], et sont aussi importantes à considérer dans l'étude des effets sismiques ainsi que dans l'étude de la propagation d'une fracture sous cisaillement. M. Adda-Bedia and R. Arias ont franchi une première étape, en étudiant la bifurcation d'une fracture d'une plaque en mode de cisaillement hors du plan, sous l'effet d'une onde plane de compression. Ensuite, ils ont élaboré une méthode analytique pour déterminer la distribution, spatiale et temporelle, des contraintes au voisinage de la pointe d'une fracture qui brusquement change sa direction et sa vitesse de propagation.

Comme continuation naturelle de ces travaux, ce groupe a commencé à s'intéresser aux problèmes de rupture entre les failles. En effet, plusieurs observations fondamentales sur le comportement des failles et des tremblements de terre ne sont pas bien décrites en termes de rupture dans un solide homogène.

C'est pourquoi, on s'est intéressé à un problème simple, mais néanmoins fondamental, concernant l'existence de solutions stationnaires d'un pulse de taille finie qui se propage à vitesse constante entre deux matériaux différents. On montre qu'en utilisant la simple loi de friction de Coulomb, il existe un continuum de solutions pour toute vitesse de propagation et pour toute taille du pulse. Cependant ces solutions ne sont pas physiques car elles exhibent une singularité du champ des contraintes et des vitesses à l'une des extrémités du pulse. Pour essayer de régulariser ces solutions, on introduit une loi de friction modifiée qui découle d'observations expérimentales, et qui consiste à introduire dans la loi de Coulomb un temps de relaxation caractéristique dans la réponse de la contrainte de cisaillement à une variation instantanée de la contrainte normale. On montre que même en utilisant des temps caractéristiques qui dépendent localement de la vitesse de glissement, la dégénérescence des solutions n'est pas levée puisque aucune solution physique n'est sélectionnée [M. Adda-Bedia and M. Ben Amar]. Cette étude analytique montre que des modèles élastiques, même compliqués, ne peuvent pas être pertinents dans le cadre du comportement des failles et il faudrait sûrement ajouter des ingrédients tels que l'hétérogénéité locale des failles.

Références 

Fracture morphologies in dried colloidal suspensions, L. Pauchard, C. Allain, M. Adda-Bedia and Y. Couder, en préparation.

The leaf venation as formed in a tensorial field, Y. Couder, L. Pauchard, C. Allain, M. Adda-Bedia and S. Douady, preprint (2000)

Fracture spacing in layered materials, M. Adda-Bedia and M. Ben Amar, soumis à Phys. Rev. Lett. (2000)

Crack dynamics in elastic media, M. Adda-Bedia and M. Ben Amar, Phil. Mag. B 78, 97-102 (1998)

Dynamic instability of brittle fracture, M. Adda-Bedia, R. Arias, M. Ben Amar and F. Lund, Phys. Rev. Lett. 82 (1999) 2314

Generalized Griffith criterion for dynamic fracture and the stability of crack motion at high velocities, M. Adda--Bedia, R. Arias, M. Ben Amar and F. Lund, Phys. Rev. E. 60 (1999) 2366

The branching instability of dynamic fracture, M. Adda-Bedia and E. Sharon, preprint 2000

Brittle fracture dynamics with arbitrary paths. I. Dynamic kinking and branching under antiplane stress pulse loading, M. Adda-Bedia and R. Arias, preprint 2000

Brittle fracture dynamics with arbitrary paths. II. Dynamic kinking under antiplane loading, M. Adda-Bedia and R. Arias, en préparation.

Self-sustained slip pulses of finite size between dissimilar materials, M. Adda-Bedia and M. Ben Amar, preprint 2001

Friction et lubrification.

E. Perez, C. Gourier, F. Pincet, L. Qian (posdoc), G. Luengo (visiteur), collaborations T. Baumberger (Jussieu) et A. Fuchs (Orsay), L'Oréal

Une machine à forces de friction bidimensionnelle entre deux surfaces moléculairement planes séparées par un film mince fluide a été construite. La plupart des machines existantes mesurent la friction dans une seule direction, avec soit une grande précision sur la force de friction soit une grande distance de glissement. Cette machine mesure la friction dans deux directions orthogonales, et combine une grande sensibilité et une grande distance de glissement. Elle permet, comme les autres, de mesurer la force normale entre les surfaces en fonction de la distance en milieu liquide (distance nanoscopique entre les deux surfaces). Cette expérience a obtenu un soutien mi-lourd CNRS en 1999. Plusieurs études sont en cours avec cet appareil

L'hexadécane ayant peu été étudié du point de vue de la friction, cette équipe a entrepris une étude complète, en fonction du nombre de couches entre les surfaces, de la charge (force normale) et en fonction de la vitesse de glissement. La force de friction varie linéairement avec la charge. Comme il a déjà été observé pour d'autres liquides, la friction est plus grande pour deux couches que pour trois couches. L'étude en fonction de la vitesse sur cinq décades a permis de distinguer quatre régimes différents de dépendance par rapport à la vitesse dans lesquels quand on augmente la vitesse, la force de friction successivement augmente, est constante, diminue, réaugmente. Pour les trois premiers régimes, la contribution principale provient d'un processus thermiquement activé de désenchevêtrement de molécules créé par le glissement.

Dans le cadre d'une collaboration avec l'Oréal, les forces normales et de friction entre deux couches adsorbées de mélange polyélectrolyte/surfactant ont été étudiées. L'ensemble des résultats est interprétable en termes d'extension des chaînes que l'on peut estimer à partir des forces normales : la friction est plus forte lorsque les chaînes sont repliées sur elles-mêmes que lorsqu'elles sont étirées; de plus, la friction dépend fortement de la vitesse de glissement lorsqu'elles sont étirées, mais n'en dépend pas lorsqu'elles sont condensées.

 Références

New 2-dimensional friction forces apparatus design for measuring shear forces at the nanometer scale, L. Qian, G. Luengo, D. Douillet, M.Charlot, X. Dollat, E. Perez, (soumis 2001)

Vibrations des films de savon:

 M. Ben Amar, Y. Couder, A. Boudaoud (Thèse), P. Patricio (Thèse), collaborations , M. Brazovskaia, C. Even and P. Pieranski (Université paris Sud)

Contrairement à l'intuition un film de savon, forcé harmoniquement, n'obéit pas à l'équation des ondes. Des courants de matière le traversent au cours du forçage de sorte que le film est un système adaptatif et non un système à valeurs propres (voir photos). On ne peut sûrement pas vérifier la question de Kac avec ce film. Afin d'étudier les effets d'auto-adaptation en fonction de la fréquence excitatrice, cette équipe a choisi un système unidimensionnel simple : une perle traversée par une corde vibrante métallique parcourue par un courant et soumis à un champ magnétique oscillant. Ils ont pu constaté un déplacement de la perle en fonction de la fréquence de telle sorte que la corde reste à résonance avec la fréquence. Autrement dit, la corde est toujours accordée sur l'excitation. Ils ont montré expérimentalement et aussi analytiquement que le phénomène est identique avec la membrane de savon. Des ventres d'épaisseur se forment, grossissent puis finalement se déplacent par effet Marangoni pour faire place à un ventre supplémentaire lorsqu'on augmente la fréquence. Ces résultats sont rapportés dans deux articles.

Références.

Can one hear the shape of smectic drums, M. Ben Amar and P. Patricio, Proc. R. Soc. A 454, 2757 (1998)

Vibrations of smectic films, M. Ben Amar, P. Patricio, M. Brazovskaia, C. Even and P. Pieranski, Phil. Mag. B 78 (1998) 115

Stability and vibrations of catenoid-shaped smectic films, M. Ben Amar, P. Patricio, N. Limodin, A. Langlois, M. Brazovskaia, C. Even, I.V. Chikina and P. Pieranski, Eur. Phys. J. B. 3 (1998) 197

The Helicoid vs. the catenoid. geometrically induced bifurcations, A. Boudaoud, P. Patricio and M. Ben Amar, Phys. Rev. Lett. 83 (1999) 3836

A self-adaptative oscillator, A. Boudaoud, Y. Couder and M. Ben Amar, Eur. Phys. J. B. 9 (1999) 159

Soap films as a self-adaptative oscillators, A. Boudaoud, Y. Couder and M. Ben Amar, Phys. Rev. Lett 82 (1999) 3847

On self-adaptative vibrating systems: from the beaded string to the soap film, A. Boudaoud, Y. Couder and M. Ben Amar, Proc. of Euromech. Colloquium (2000)

Ondes spirales dans des milieux excitables :

V. Hakim, H. Henry, collaboration A. Karma (Northeastern University)

Les ondes spirales dans les milieux excitables sont des structures remarquables qui ont été observées dans de nombreux contextes, catalyse à la surface des métaux, réaction chimique de Belousov-Zhabotinsky ou bien encore, ondes de calcium intracellulaires. Elles semblent, en particulier, jouer un rôle essentiel dans certaines arythmies cardiaques et dans le mécanisme de la fibrillation ventriculaire. En utilisant les équations modèles de FitzHugh-Nagumo (système de deux équations de réaction-diffusion), nous avons analysé ces structures avec Alain Karma, dans le cas d'un milieu faiblement excitable quand le cœur de la spirale a un rayon grand par rapport à la largeur de l'onde. Notre étude permet de comprendre la formation des ondes spirales et d'analyser de façon simple, mais asymptotiquement exacte, divers phénomènes tels que l'instabilité de ''méandre'', où l'extrémité de la spirale ne suit plus un cercle mais une trajectoire ressemblant à une épicycloïde, la dérive d'une spirale dans un champ externe qui s'effectue à un angle non nul avec le champ appliqué, ou bien l'instabilité des spirales à plusieurs bras. L'étude des analogues tridimensionnels des spirales, les "rouleaux" (scroll wave) et de leurs instabilités fait actuellement l'objet de la thèse de Hervé Henry. H. Hervé et V. Hakim ont effectué une analyse complète de la stabilité linéaire de ces ondes, et montré, en particulier, que les différentes instabilités des rouleaux peuvent être comprises en suivant la déformation dans la troisième dimension des cinq modes principaux des spirales provenant de leur invariance par translation et rotation et de l'instabilité de méandre.

Références :

Spiral Wave Meander in Excitable Media: The Large Core Limit, V Hakim et A. Karma, Phys. Rev. Lett. 29 (1997) 665-669

Theory of spiral wave dynamics in weakly excitable media: asymptotic reduction to a kinematic model and applications, V. Hakim et A. Karma, Phys. Rev. E 60 (1999) 5073-5105

Linear stability of scroll waves, H. Henry et V. Hakim, Phys. Rev. Lett. 85 (2000) 5328-5331

Spirals in excitable media from half plane wave: an asymptotic view, V. Hakim, in PDE models of reactive flows, H. Berestycki and Y. Pomeau editors, Kluwer à paraître.

Projets.

Dans le prolongement des travaux effectués ces dernières années V. Hakim compte poursuivre l'analyse des systèmes hors d'équilibre en étudiant à la fois les structures particulières (dendrites, spirales, ondes solitaires, tourbillons,...) et des propriétés statistiques ou dynamiques plus globales.

A court terme, il compte approfondir les résultats évoqués ci-dessus. D'une part, il veut élargir l'étude des rouleaux tridimensionnels dans les milieux excitables ("scroll waves"). Il compte développer des modèles simples décrivant les différents régimes d'instabilités qu'ils ont mis en évidence et qui permettent de comprendre leur développement non-linéaire. D'autre part, il veut étendre l'étude à des milieux anisotropes, la rotation des fibres cardiaques de la face interne à la face externe du cœur pouvant jouer un rôle important dans la fibrillation ventriculaire [F.Fenton et A. Karma, Chaos 8 (1998) 20 (1998); F. X. Witkowski et al Nature 392 (1998) 78]. Il espère en particulier, pouvoir expliquer la propagation d'onde localisée de torsion le long du filament ("twistons"). Ce thème général de recherche fait l'objet de la thèse d'Hervé Henry débutée en septembre 98.

Combustion

B. Audoly, Y. Pomeau, collaboration H.Berestycki (DMI, ENS).

Ce travail est la suite d'un travail plus ancien de Y. Pomeau, Bill Young et Alain Pumir. Ils avaient montré comment calculer le coefficient de diffusion effectif à grand nombre de Péclet (Pe) dans une structure de rouleaux périodiques. Incités par de nouveaux résultats expérimentaux de réaction -diffusion dans des rouleaux de Taylor-Couette, B. Audoly, H.Berestycki et Y. Pomeau ont examiné la question de la vitesse de propagation effective de réaction en présence d'un écoulement rapide. Le groupe de mathématiques appliquées de l'Université de Chicago avait obtenu pour celle-ci une borne inférieure variant comme Pe^(1/5). Appliquant les mêmes idées que pour la diffusion du scalaire passif, B. Audoly, H.Berestycki et Y. Pomeau ont montré que la loi exacte est en Pe^(1/4), ce qui est bien confirmé par les expériences numériques.

Références :

Dispersion at large Péclet number, Pomeau Y., In " Mixing Chaos and Turbulence " ed. H. Chaté et al. NATO ASI series, series B : physics Vol 373, Kluwer New York (1999).

Réaction diffusion en écoulement stationnaire rapide, B. Audoly, H.Berestycki et Y. Pomeau, C.R. Ac. Sci., IIb 328, p. 255-262, (2000)

Inhibition de l'instabilité de Rosensweig par excitation paramétrique.

S. Fauve, F. Pétrélis (en thèse), E. Falcon (postdoc)

Des ondes peuvent être amplifiées paramétriquement à la surface d'une couche de fluide soumise à un mouvement vibratoire vertical (instabilité de Faraday).

Le même type d'expérience, réalisée avec un ferrofluide, a permis de mettre en évidence le phénomène de stabilisation paramétrique. Lorsqu'une couche de ferrofluide est soumise à un champ magnétique vertical, l'instabilité de Rosensweig engendre un réseau de cellules hexagonales. Sur une plage finie de champ magnétique, il est possible d'inhiber cette instabilité et donc de restabiliser la surface plane, en soumettant la couche de ferrofluide à un mouvement vibratoire vertical. Ce phénomène n'est en fait que la généralisation à un système spatialement étendu de l'effet bien connu de stabilisation de la position verticale d'un pendule sous l'effet d'un forçage paramétrique. Il n'était cependant pas évident a priori qu'il existe une plage de fréquences de vibration sur laquelle cette stabilisation était réalisable sans engendrer d'autres modes instables. Un modèle analytique a permis de prédire correctement l'amplitude de vibration nécessaire à la restabilisation en fonction du champ magnétique appliqué.

Référence :

Parametric stabilization of the Rosensweig instability, S. Fauve, F. Pétrélis, E. Falcon, European Phys. J. B 15 (2000).3

Effet d'un bruit multiplicatif sur l'instabilité paramétrique.

S. Fauve, S. Residori (postdoc), R.Berthet (en thèse), A. Petrossian (visiteur dans le cadre du contrat INTAS 971/1672)

L'effet d'un bruit multiplicatif sur une instabilité peut donner lieu à des phénomènes assez surprenants : stabilisation par le bruit, transitions induites par le bruit, c'est à dire apparition de nouveaux états bifurqués n'existant pas en l'absence de bruit, etc. L'instabilité de Faraday permet d'étudier simplement ce type de phénomènes en superposant un bruit à l'excitation paramétrique sinusoïdale. Contrairement aux travaux précédents réalisés sur d'autres systèmes physiques, l'effet du bruit sur une bifurcation sous-critique a été étudié. Il existe donc en l'absence de bruit, une plage d'amplitude de l'excitation sinusoïdale où le système est bistable, la surface plane et des ondes d'amplitude finie étant simultanément métastables. La transition abrupte d'un état vers l'autre est rendue continue en présence de bruit multiplicatif si l'amplitude moyenne des ondes de surface est considérée comme paramètre d'ordre. Ce comportement peut donc sembler analogue à l'effet du désordre spatial sur certaines transitions du premier ordre. Cependant, l'effet du bruit n'est pas simplement d'induire des transitions entre les deux états métastables existant en l'absence de bruit. Ces transitions ont lieu entre deux nouveaux états, et si la valeur la plus probable de l'amplitude des ondes de surface est considérée comme paramètre d'ordre, on observe au contraire que la région de bistabilité est agrandie sous l'effet du bruit multiplicatif.

Référence :

Noise induced bistability of parametric surface waves, S. Residori, R. Berthet, B. Roman and S. Fauve (soumis à Phys. Rev. Lett., 2001).

Turbulence bidimensionnelle.

 P Tabeling, J. Paret (thèse), O Paireau (thèse), P Castiglione (postdoc), C. Jullien(thèse), collaboration B. Legras (LMDH ,ENS)

Les expériences de turbulence bidimensionnelle s'effectuent dans des couches fines stratifiées, dans de petites cuves. Le fluide est mis en mouvement par des forces électromagnétiques. Une difficulté de l'expérience est de contrôler que l'écoulement est bidimensionnel, et de mesurer les champs de vitesse avec précision. Une autre difficulté, plus conceptuelle, est de trouver des fenêtres expérimentales dans lesquelles tel ou tel phénomène se développe sans être perturbé par des effets annexes.

Dans ces conditions, P. tabeling, avec J Paret et C Jullien ont réussi à observer pour la première fois la cascade d'enstrophie, la dispersion de Richardson et le régime de Batchelor, trois phénomènes de base. Ils ont mis en évidence les lois du déclin de la turbulence, l'absence d'intermittence dans la cascade inverse, et la saturation d'exposants dans un problème de traceurs. Les premières études expérimentales de l'évolution de triades dans un champ turbulent ont été ensuite été effectuées par P Castiglione. A cela s'ajoutent des études sur des cas particuliers, comme le tourbillon cisaillé, et le mélange chaotique chimique, objet de la thèse d'O Paireau, codirigée par B Legras (LMD) et P Tabeling

Ces observations sont bien établies aujourd'hui, et pratiquement toutes ont été confirmées numériquement (soit indépendamment, soit dans le cadre de collaborations). Dans certains cas, ces études ont permis de vérifier une théorie existante, dans d'autres elles ont apporté les éléments nécessaires à l'éventuelle construction d'une nouvelle théorie. Ce travail a rehaussé le rôle de l'expérience physique dans un domaine dominé par les études numériques. Il a aussi initié des contributions théoriques (par exemple des modélisations de la cascade inverse). La communauté semble avoir vu dans ces expériences, une mise en évidence expérimentale claire de l'ensemble de la phénoménologie de la turbulence bidimensionnelle. Ces études ne seront pas poursuivie après 2001. P Tabeling prépare un article de revue sur la turbulence bidimensionnelle (pour Report on Progress in Physics), qui permettra probablement d'offrir une vision globale de ces contributions.

Références :

Numerical simulations of experiments on quasi-two dimensional turbulence B Juettner, A. Thess, D Marteau, P Tabeling, Phys Rev E 55 (1997) 5479

Are flows electromagnetically driven in thin layers two-dimensional ? D Marteau, O Paireau, J Paret, P Tabeling, Phys. Fluids, 9 (1997).2752

Observation of the two-dimensional inverse energy cascade, J Paret, P Tabeling, Phys. Rev. Lett. 79 (1997). 4162

Decay and dispersion in two-dimensional turbulence, A Hansen, D Marteau, P Tabeling, Phys Rev E58 (1998). 7261

Vortex subjected to a shear : an experimental study, O Paireau, B Legras, P Tabeling, Journal Fluid Mechanics, 351 (1997). 1

Turbulence tridimensionnelle.

 M.E. Brachet, J.M Tcheou (thèse), E. Taflin(théorie) en collaboration avec P. Tabeling et H. Willaime (expérimentateurs)

 L'intermittence inertielle est souvent formulée en termes de modèle multifractal. l'équipe théorique a pu montrer que ce dernier est équivalent a un comportement simple, en loi d'échelle, des distributions de probabilité (d.d.p.) des incréments de vitesse, corrigé d'un terme sous dominant. La motivation principale de ce travail était la possibilité de construire un lien entre les filaments de vorticité (ou d'autres structures cohérentes présentes dans les simulations) et la multifractalité, en repérant les structures responsables des lois d'échelle des distributions de probabilité .

Rappelons que l'intermittence de la turbulence dans le domaine inertiel est caractérisée théoriquement par les lois d'échelle auxquelles obéissent les fonctions de structures. Les objets qui ont été les plus étudiés expérimentalement sont les fonctions de structures longitudinales, définies comme les moments d'ordre p des incréments longitudinaux de vitesse : . Dans le domaine inertiel, ces fonctions de structures suivent une loi d'échelle:. Les déviations de l'exposant par rapport à la loi d'échelle de Kolmogorov fournissent une mesure quantitative de l'intermittence. Le modèle multifractal de Frisch et Parisi, relie par la transformation de Legendre l'exposant à la co-dimension d'un ensemble sur lequel les incréments de vitesse suivraient une loi .

Cette équipe a pu, en s'appuyant sur la méthode du col, établir des formules asymptotiques pour la distribution de probabilité valides dans la zone inertielle. Ces formules permettent d'une part de vérifier la validité des hypothèses faites et d'autre part de mesurer directement la co-dimension à partir des distributions de probabilité expérimentales. En collaboration avec les expérimentateurs ils ont pu également reconstruire les probabilités expérimentales à partir des lois d'échelle. Une application à l'études des données financières a été tentée.

Références.

Multifractal Scaling of Probability Density: a Tool for Turbulent Data Analysis, J. Phys. II (France) 6 (1996) 937 (avec J. -M. Tcheou).

Multifractal Modeling of the probability of velocity increments in turbulence, Physica D 129, (1999) 93 (avec J.M. Tcheou, F. Belin, P. Tabeling et H. Willaime).

Scaling transformation and probability distributions for financial time series, Chaos, Solitons & Fractals, 11 (2000) 2343 (avec J.M Tcheou et E. Taflin).

Turbulence dans l'hélium à Basse Température.

 F Belin, J Maurer, F. Moisy, P Tabeling, H Willaime

Il s'agit de l'étude de la turbulence développée dans un contexte exceptionnel, celui de l'hélium gaz à basse température. Les basses températures permettent de produire les nombres de Reynolds les plus élevés qu'il soit possible d'atteindre en laboratoire. La mise en œuvre de l'écoulement est délicate, et la mesure des fluctuations de vitesse présente une grande difficulté : elle doit en effet s'effectuer avec un capteur miniaturisé (de taille typique 7mm), deux ordres de grandeur plus petit que les capteurs standard. Au cours des deux dernières années, ce capteur a été réalisé au laboratoire, puis modifié pour effectuer des mesures de fluctuations turbulentes de température. Un signal a été obtenu au prix d'une lutte acharnée contre le bruit de mesure, menée notamment par H Willaime.

Dans ce contexte, la période 1997 - 2001 a conduit à l'observation de différents phénomènes. H Willaime et F Moisy ont obtenu confirmation d'une transition à haut nombre de Reynolds, la mise en évidence d'amas de microfilaments, la démonstration de la validité de la relation de Kolmogorov forcée, relation fondamentale de la turbulence, travail conduisant à la mise en évidence d'une nouvelle échelle. Par la suite, en abordant le problème des fluctuations de température, Ils ont observé un effet de saturation des exposants de la turbulence.

Aujourd'hui ces résultats sont bien établis ; on peut compter une dizaine d'équipes dans le monde, qui pour une raison ou une autre ont utilisé ces données. La transition observée reste une curiosité inexpliquée ; la possibilité d'un artefact étant peu probable, on tend à spéculer sur des effets d'anisotropie persistant à petite échelle.

Références :

Enhancement of the reactivity by chaotic stirring, O Paireau, P Tabeling, Phys Rev E, 56, 2 (1997)

Velocity gradient distributions in fully developed turbulence : an experimental study, F Belin, J Maurer, P Tabeling, H Willaime, Phys Fluids (Dec 1997)

Turbulence superfluide (théorie).

M.E. Brachet, S. Fauve, P. Tabeling, M. Abid, J. Maurer, collaborations C. Nore (Université Paris Sud), E Cerda, et E. Tirapegui.

L'équation de Schrödinger Non Linéaire (ESNL) réalise un pont intéressant entre dynamique non linéaire et hydrodynamique. Les écoulements classiques sont décrits par l'équation d'Euler pour les fluides parfaits et les équations de Navier-Stokes pour les fluides visqueux. Les écoulements superfluides obéissent à ESNL

qui est une équation aux dérivées partielles agissant sur une fonction d'onde complexe reliée à la densité et à la vitesse du superfluide par la transformation de Madelung .

Un superfluide est ainsi irrotationnel, sauf sur les lignes nodales de la fonction d'onde qui sont des filaments tourbillonnaires non singuliers et de circulation de vitesse quantifiée ( avec les normalisations ci-dessus).

Les auteurs ont introduit une méthode de préparation de données initiales permettant, en minimisant l'émission d'ondes acoustiques, d'étudier numériquement, avec ESNL, des écoulements cisaillés tridimensionnels. Un exemple de reconnexion 3D de ligne de vortex est donné sur la figure.

Cette méthode, ainsi que d'autres techniques originales, ont permis de caractériser un régime de turbulence superfluide (dans des simulations de NLSE 3D en résolution 512³) ou les lois d'échelle de Kolmogorov sont présentes. Par la suite ce régime a été observe dans des expériences dans l'hélium superfluide.

Références.

Numerical Study of Hydrodynamics using the Nonlinear SchrödingerEquation, Physica D (1993) 154 (avec C. Nore et S. Fauve).

Scattering of first sound by superfluid vortices, Phys. Rev. Lett. 72 (1994) 2593 (avec C. Nore, E Cerda, et E. Tirapegui).

Simulation numérique d'écoulements cisaillés tridimensionnels à l'aide de l'équation de Schrödinger non linéaire, C.R.Acad.Sci. Paris 319 II (1994) 733 (avec C. Nore et M. Abid)

Kolmogorov turbulence in low-temperature superflows, Phys. Rev. Lett. 78 (1997) 3896 (avec C. Nore et M. Abid).

Kolmogorov turbulence in a model of superflow, Physics of Fluids, Septembre, 1997 (avec C. Nore et M. Abid).

Experimental and numerical investigations of low-temperature superfluid turbulence, Eur. J. Mech. B/Fluids 17 (1998) 665 (avec M. Abid, J. Maurer, C. Nore and P. Tabeling).

Turbulence superfluide (expériences).

 P. Tabeling, J Maurer, H Willaime.

Au moment ou cette étude fut abordée au laboratoire, on ne savait pas s'il existait l'équivalent d'un régime de Kolmogorov dans les écoulements superfluides. Le travail numérique et analytique de M E Brachet et C. Nore offraient une conception de la turbulence superfluide tres proche de la turbulence ordinaire, impliquant la présence de spectres " à la Kolmogorov ". Jean Maurer et P. Tabeling, stimulés par ces résultats, ont effectué des mesures locales de fluctuations de vitesses turbulentes ; Ils y sont parvenus en utilisant un capteur de pression de Pitot. La difficulté expérimentale était l'obtention d'un bon rapport signal sur bruit. Un spectre de Kolmogorov sur une décade de variation du nombre d'onde a pu être obtenu pour un écoulement entre deux disques contrarotatifs. Il s'agissait de la première observation d'un tel spectre. La même expérience fournit un résultat conceptuellement important : il a été montré que l'intermittence dans le domaine inertiel survit, jusqu'aux plus basses températures accessibles avec le dispositif expérimental, c'est à dire 1.4 K. Ces résultats ont été utilisés dans un articles de Vinen, qui développe une vision de la turbulence superfluide très proche de la turbulence ordinaire, jusqu'à des échelles comparables à la séparation moyenne des tourbillons quantiques.

Après ces observations, P. Tabeling, H Willaime et J Maurer ont tenté d'utiliser la superfluidité pour mesurer la vorticité locale (en analysant l'atténuation du second son dans une petite pince). Ils ont obtenu des résultats encourageants ; et espèrent, en utilisant la technologie MEMS, parvenir à une mesure bien maîtrisée, grâce à l'élaboration d'une sonde miniaturisée.

Référence :

Local investigation of superfluid turbulence J Maurer, P Tabeling, Europhysics Letters, 43, 1 29 (1998)

Vortex de rayon quasi nul.

Y. Pomeau

Intéressé par les remarquables résultats antérieurs de Couder et al., Y; Pomeau a essayé de comprendre comment pouvaient se former des vortex de rayon quasi nul dans un écoulement turbulent. Ces vortex pourraient résulter du collapse sur un axe d'une vorticité à distribution radiale instable, une idée qui ne semble pas avoir été déjà émise. Ceci pose la très intéressante question de l'existence ou non d'une singularité à temps fini des équations d'Euler à 3D. Y. Pomeau a montré que, pour ce type de géométrie, et avec l'hypothèse de conservation de la symétrie axiale, une solution singulière purement auto-similaire ne peut pas exister, en raison des contraintes que font peser sur les lois d'échelles la conservation de la circulation. Depuis, ayant à diriger le travail d'une jeune chercheuse financée par une bourse européenne, D. Sciamarella, Y. Pomeau lui a confié cette question et ensemble, ils ont cherché une solution dynamique singulière qui serait obtenue par perturbation d'une solution stationnaire, en s'inspirant des méthodes utilisées par Zakharov pour le cas de Schrödinger non linéaire focalisant à 2D, et suivant des idées de Fraiman. Certaines structures mathématiques semblent communes aux deux problèmes.

Convection de Rayleigh Bénard turbulente.

 X. Chavanne, Collaboration B. Castaing (CRTBT Grenoble puis ENS-Lyon).

Pour sa thèse (de 1994 à 1997 au Centre de Recherche sur les Très Basses Températures à Grenoble) Xavier Chavanne avait étudié la convection dans une cellule soumise à un gradient vertical de température, contenant de l'He autour de 5,2 K sous forme gazeuse et aussi liquide. Le but était de caractériser l'évolution du nombre de Nusselt (Nu ou flux de chaleur adimensionnée) ainsi que la vitesse caractéristique en fonction des paramètres de la convection dont le plus important est le nombre de Rayleigh (Ra le rapport de la poussée d'Archimède, moteur de la convection, aux mécanismes de diffusion qui la freinent). Il était arrivé à la conclusion qu'au delà de Ra ‰ 10¹¹ apparaît un nouveau régime caractérisé par un écoulement complètement turbulent même au niveau des couches diffusives près des plaques, et par un transport de la chaleur plus efficace (Nu varie comme Ra^0,38, au lieu de Ra^0,29 pour des Ra entre 10⁷ et 10¹¹). Ce régime s'apparente au régime "ultime" prédit par R Kraichnan.

X. Chavanne a continué au LPS le travail de dépouillement et d'analyse de ses données afin de publier un article de synthèse et de répondre aux questions et à la controverse nées de l'observation du régime ultime dans son expérience mais pas dans deux autres réalisées aussi avec de l'He mais dans des cellules plus grandes. Ayant exclu les erreurs les plus immédiates (liées à la thermométrie pour déduire Ra et Nu, à l'homogénéité de l'He, à la rugosité sur les parois) il s'avérerait que la convection puisse dépendre des conditions limites en particulier de température sur les plaques horizontales froide et chaude : ces plaques doivent se comporter comme de bons thermostats même vis à vis de fluctuations de température locales et fortes dans le fluide. A cet égard sa cellule est bien mieux conçue que celles des autres expériences.

Le régime précédent le régime ultime n'est pas non plus bien compris et plusieurs modèles sont en concurrence. Dans cet article de synthèse, on confronte avec les prédictions une synthèse de la plupart des expériences réalisées sur le sujet. Il en résulte qu'aucun modèle n'est totalement satisfaisant.

Avant d'avoir une vision unifiée de la convection turbulente de Rayleigh Bénard il reste encore à faire des expériences (par exemple observer le régime ultime avec de l'eau, vérifier la sensibilité de la convection aux conditions sur les plaques) et à inventer une théorie qui puisse expliquer tous les résultats expérimentaux.

Référence.

Turbulent Rayleigh-Bénard convection in gaseous and liquid He, Chavanne, F. Chillà, B. Chabaud, B. Castaing & B. Hébral, à paraître dans Physics of Fluids (mai 2001).

Fluctuations de puissance injectée dans des systèmes turbulents.

S. Aumaître (thèse soutenue), puis J. Farrago (postdoc depuis octobre 2000), S. Fauve

Il était implicitement admis dans la phénoménologie de la turbulence développée que la puissance totale nécessaire à maintenir un écoulement stationnaire, ne fluctuait pas au cours du temps. Cette approximation semble incorrecte même à la limite des nombres de Reynolds élevés. L'étude de ces fluctuations a été effectuée sur deux types d'écoulement (écoulement de von Karman et convection thermique) et leurs propriétés statistiques ont été déterminées en fonction du nombre de Reynolds. Bien que moyennées sur tout le volume de l'écoulement, elles présentent un caractère non Gaussien persistant et une décroissance très lente lorsque le nombre de Reynolds augmente.

Références : 

Fluctuations of the heat-flux in turbulent convection, S. Aumaître and S. Fauve, J. Chim. Phys. 96 (1999) 1038

Large scale correlations for energy injection mechanisms in swirling turbulent flows, S. Aumaître, S. Fauve and J. F. Pinton, accepté pour publication à European Phys. J. B 16 (2000) 563.

Diminution de la traînée turbulente.

D. Bonn, O. Cadot, S. Douady, O. Paireau.

Si, dans un écoulement turbulent, on ajoute une très faible quantité (de l'ordre de quelques ppm) d'un polymère linéaire et flexible, la dissipation d'énergie diminue de manière très importante, jusqu'à 80 %. Malgré une très grande importance industrielle, cet effet spectaculaire n'est toujours pas compris. Le mécanisme de cette " réduction de traînée turbulente" par addition de polymères est sujet à discussions depuis sa découverte au cours de la deuxième guerre mondiale.

Une question récemment encore ouverte était de savoir si l'effet dominant à lieu en volume ou bien dans les couches limites. En étudiant la diminution de traînée dans un système fermé dans lequel les couches limites ont été variées, O. Cadot, D. Bonn et S. Douady ont pu conclure, de façon non équivoque, que l'effet dominant a lieu dans les couches limites qui sont modifiées par l'ajout de polymères. De plus, cette expérience leur a permis de montrer qu'il n'y a pas de liaison directe entre la dissipation et les "structures cohérentes" (filaments) observées dans la turbulence. C'est un résultat important, car des simulations numériques suggéraient une connexion entre ces filaments (qui seraient responsables de l'intermittence) et la dissipation de l'énergie.

De plus, en étudiant la turbulence bidimensionnelle dans un système stratifié, O. Paireau et D. Bonn ont pu montrer qu'il existe un phénomène équivalent dans le frottement liquide-liquide. Ils ont étudié deux couches de liquides stratifiées, dont la couche inférieure est mise en mouvement turbulent. Le mouvement turbulent dans cette couche entraîne, par frottement liquide-liquide, une turbulence dans la couche supérieure. Il s'est avérée que le frottement liquide-liquide pouvait être réduit jusqu'à 50 % en ajoutant des polymères dans une des deux couches, diminuant ainsi la turbulence dans la couche supérieure.

En ce qui concerne la diminution de la traînée turbulente, la discussion concernant les rôles respectifs de la couche limite et du volume a pu être tranchée, mais une grande question reste encore ouverte, celle concernant le mécanisme de cette diminution. Plus précisément la question qui se pose est la suivante : quelle action peuvent avoir les polymères sur la génération de la turbulence dans la couche limite. Dès la découverte de cet effet, une relation avec l'importante viscosité élongationelle de ces solutions de polymères a été soupçonnée. Malheureusement, il n'était pas possible jusqu'à très récemment, de quantifier cette viscosité. Avec les nouvelles méthodes développées au laboratoire, D. Bonn a pu déterminer la viscosité élongationelle en vue de comparer les résultats des expériences de dissipation d'énergie en turbulence et les propriétés viscoélastiques des solutions utilisées. Ces dernières sont déterminées dans des écoulements rhéométriques.

Références :

Drag reduction in liquid-liquid friction, O. Paireau, D. Bonn,, Phys.Rev.Lett. 83 (1999) 5591

Turbulent drag reduction in a closed flow system: boundary layer vs. bulk effects, O. Cadot, D. Bonn, S. Douady, Phys. Fluids A, 10 (1998) 429

Turbulence magnétohydrodynamique et effet dynamo.

 S. Fauve, F. Pétrélis (en thèse), collaborations A. Chiffaudel, F. Daviaud (CEA-Saclay), P. Odier et J-F. Pinton (ENS-Lyon))

L'effet dynamo est considéré comme le mécanisme générateur du champ magnétique terrestre ou des champs magnétiques existant sur une grande gamme d'échelles en astrophysique. Il consiste en l'amplification d'une perturbation de champ magnétique par le mouvement d'un fluide conducteur de l'électricité ; si l'amplification est suffisante pour contrebalancer la dissipation par effet Joule, le mouvement du fluide conducteur engendre spontanément un champ magnétique. Le nombre sans dimension qui caractérise l'importance relative des processus d'amplification et de dissipation est le nombre de Reynolds magnétique, Rm = m0sVL, où m0 est la perméabilité magnétique, s la conductivité électrique, V est la vitesse et L l'échelle de longueur caractéristique de l'écoulement.

Les problèmes physiques posés par l'effet dynamo peuvent se classer en trois catégories:

- Le problème du seuil Rm_c au-delà duquel un écoulement de géométrie donnée engendre un champ magnétique.

- Le problème du mécanisme de saturation du champ magnétique créé et de l'équilibre et des transferts entre énergie cinétique de l'écoulement et énergie magnétique; la dynamique temporelle du champ magnétique et en particulier la possibilité de renversement du champ, rentrent dans cette catégorie. Les couplages complexes entre équations de Maxwell et équation de Navier-Stokes rendent le problème complet analytiquement intraitable. La grande différence d'échelle de temps entre les variables magnétique et cinétique rend toute simulation numérique directe impossible dans le régime de paramètres réalistes.

- Enfin, le problème du transport par un écoulement turbulent d'un champ magnétique (engendré par effet dynamo ou simplement imposé de l'extérieur) est un aspect très mal connu.

Les premières observations expérimentales de champ magnétiques engendrés par effet dynamo ont eu lieu en 2000 à l'aide d'écoulements de sodium liquide fortement contraints géométriquement (expériences de Karlsruhe et de Riga). L'effet dynamo n'a pas été à ce jour observé dans le cas d'écoulements non contraints, plus intéressants en vue de l'étude des régimes non linéaires et plus réalistes quant aux implications astrophysiques et géophysiques.

Le montage expérimental réalisé utilise un écoulement tourbillonnaire turbulent engendré entre deux disques coaxiaux en rotation. Il donne lieu à de fortes concentrations de vorticité ; le champ magnétique étant régi par une équation analogue quant à son amplification par les gradients de vitesses, cet écoulement semble optimal tout en n'étant pas fortement contraint par la géométrie des conditions aux limites. Le fluide utilisé a tout d'abord été le gallium. Le nombre de Reynolds magnétique a été d'environ 15. Cela est en dessous du seuil estimé pour l'effet dynamo mais les effets suivants relatifs à l'advection d'un champ magnétique externe par l'écoulement turbulent ont été mis en évidence :

- l'expulsion d'un champ magnétique transverse par un écoulement tourbillonnaire, qui se comporte donc de façon analogue à un diamagnétique,

- la création par un écoulement turbulent d'un champ toroïdal à partir d'un champ axial imposé, i.e. un des mécanismes de base proposé pour l'effet dynamo,

- le spectre de puissance en f^-11/3 (où f est la fréquence) des fluctuations de champ magnétique engendré par l'écoulement, prédit depuis longtemps par des arguments à la Kolmogorov mais jamais observé expérimentalement. .

Un montage identique mais utilisant environ 50 litres de sodium liquide, a été réalisé au CEA-Cadarache dans le cadre d'une collaboration impliquant le CEA-Saclay, l' ENS-Lyon et le LPS (ENS-Paris). Le gain par rapport au gallium, tant en conductivité électrique qu'en densité, a permis d'atteindre des nombres Reynolds magnétiques 6 fois plus élevés. Trois campagnes de mesures ont été effectuées (juillet 2000, octobre 2000, février 2001) : l'amplification par l'écoulement d'un champ magnétique appliqué a été observée mais le seuil de l'effet dynamo n'a pas encore été atteint car seules certaines composantes du champ sont amplifiées suivant la géométrie de l'écoulement. L'effet "alpha", c'est à dire la production d'un courant parallèle à un champ magnétique externe, par un écoulement turbulent non invariant par symétrie plane, a été mis en évidence. Le projet d'observation d'une dynamo turbulente est poursuivi.

Un travail analytique a par ailleurs été effectué, montrant que l'amplitude du champ magnétique engendré par effet dynamo dépend fortement du caractère laminaire ou turbulent de l'écoulement engendrant le champ.

Références :

Advection of a magnetic field by a turbulent swirling flow, P. Odier, J. F. Pinton and S. Fauve, Phys. Rev. E. 58 (1998) 7397.

Magnetic induction by coherent vortex motion, P. Odier, J. F. Pinton and S. Fauve, European Phys. J. B (2000).

Magnetic permeability of a diphasic flow, made of liquid gallium and iron beads, P. Odier, J. F. Pinton and S. Fauve, European Phys. J. B 18 (2000) 337.

aturation of a Ponomarenko type fluid dynamo, A. Nunez, F. Pétrélis and S. Fauve, Dynamo and dynamics, P. Chossat ed. (Kluwer, 2001).

Effet Dynamo : développement d'un code.

 M.E. Brachet, collaborations C. Nore, H. Politano et A. Pouquet

Cette équipe a écrit un code pseudo-spectral intégrant les équations de la magnéto-hydrodynamique (MHD) dans la géométrie du vortex de Taylor-Green. Cet écoulement possède des symétries particulières qui permettent de réaliser des calculs à très hautes résolutions. Il consiste en une turbulence Taylor-Green entretenue, à laquelle est superposé un faible champ magnétique initial.

Cette étude permet de relier directement les simulations à des expériences où le montage présente une géométrie similaire à celle du vortex de Taylor-Green., Le fluide expérimental est le gallium (Ecole Normale Supérieure de Lyon) ou le sodium (expérience de Cadarache). Le but des manipulations est de rechercher l'effet dynamo qui n'a pas encore été observé dans cette géométrie. Dans le numérique on observe bien l'effet dynamo, mais pour des valeurs du nombre de Prandt magnétiques très différentes de celles des fluides expérimentaux.

Référence.

 Dynamo action in the Taylor--Green vortex near threshold, Physics of Plasmas, 4, (1997). 1 (avec. C. Nore, H. Politano et A. Pouquet)

Projets.

Susceptibilité sous critique et saturation de la dynamo. Dans les expériences actuellement menées a Lyon, Cadarache et aux Etats-Unis ; une des principales méthodes retenue pour signaler l'approche de la criticité est la mesure des susceptibilités, qui sont censés diverger. Les études numériques précédentes se sont concentrées sur l'établissement des seuils d'instabilité.

Cette équipe a développé les outils numériques pour étudier ces phénomènes non linéaires dans le cadre de la théorie des bifurcations :

Variation de l'énergie magnétique avec l'écart au seuil

Spectre temporel en régime saturé

Les calculs (assez lourds) sont en cours.

Diffusion d'ondes de surface par des tourbillons.

 C. Coste (visiteur), collaboration ECOS avec le Chili.

Les ondes de surface sont diffusées par des tourbillons de manière analogue à la diffusion de particules par un potentiel. Ce problème a été étudié théoriquement par C. Coste dans le cadre d'un contrat de collaboration ECOS avec le Chili. Dans le cas de régions étendues de vorticité possédant une circulation non nulle, l'existence d'une onde diffusée pouvant présenter une dislocation a été mise en évidence. Le point important est que ce phénomène, analogue à l'effet Aharonov-Bohm en mécanique quantique, invalide l'approximation de Born qui avait été utilisée dans les calculs de diffusion d'ondes de surface par des tourbillons, effectués précédemment.

L'analyse théorique a montré un bon accord avec les expériences réalisées au Chili.

Références :

Scattering of dislocated wavefronts in water waves and the Aharonov-Bohm effect I : Shallow water, C. Coste, M. Umeki and F. Lund, Phys. Rev. E 60 (1999) 4908.

Scattering of dislocated wavefronts in water waves and the Aharonov-Bohm effect II : Dispersive waves, C. Coste and F. Lund, Phys. Rev. E 60 (1999) 4917.

Surface wave scattering by a vertical vortex and the symmetry of the Aharonov-Bohm wave function, F. Vivanco, F. Melo, C. Coste and F. Lund, Phys. Rev. Lett. 83 (1999) 1966 (1999).

Interaction son-vorticité.

S. Fauve, R. Berthet (en thèse de 1997 à 2001), collaboration D. Astruc (Toulouse)

L'étude de la diffusion par la vorticité a également été poursuivie dans le cas des ondes acoustiques. L'interaction son-vorticité est le mécanisme de diffusion dominant dans le cas de la propagation d'une onde sonore dans un fluide isotherme en écoulement. Cet effet avait permis de mettre au point une nouvelle méthode de mesure directe de la vorticité. Il a été utilisé dans le cas d'un écoulement turbulent développé en collaboration avec B. Dernoncourt et J. F. Pinton et a permis d'étudier les propriétés statistiques des concentrations intermittentes de vorticité.

L'étude théorique des différents régimes de diffusion du son par la vorticité a fait l'objet du travail de thèse de R. Berthet. Un code de simulation numérique directe de la diffusion du son par des vortex a été mis au point. Ceci a permis de préciser les limites de validité des calculs analytiques effectués précédemment dans l'approximation de Born. Il a été montré que celle-ci est satisfaite lorsque le produit du nombre de Mach de l'écoulement par l'étendue spatiale de la zone de vorticité divisée par la longueur d'onde acoustique, est suffisamment faible. Les modifications qualitatives de l'amplitude de diffusion lorsque l'approximation de Born n'est pas satisfaite ont été mises en évidence numériquement. Dans le cas de vortex axisymétriques et à la limite des courtes longueurs d'onde, la méthode des ondes partielles a permis de retrouver analytiquement ces résultats.

Un bon accord entre simulation numérique directe et mesure expérimentale de l'amplitude de diffusion a été observé, et cette étude a permis de préciser quantitativement les limites de validité des différentes approximations qui étaient utilisées dans l'interprétation des mesures expérimentales.

Références:

Experimental study of vorticity filaments in a turbulent swirling flow, B. Dernoncourt, J. F. Pinton and S. Fauve, Physica D 117 (1998) 181.

Intéraction son-écoulement , R. Berthet, thèse soutenue le 20 avril 2001.

Propagation acoustique dans une mousse.

S. Fauve, N. Mujica (en thèse).

La diffusion du son par les bulles de gaz d'une mousse est étudiée dans le cadre de la thèse de N. Mujica. L'intérêt de l'étude de la propagation acoustique dans un milieu diphasique est double : d'une part, c'est un bon système expérimental pour l'étude de la propagation en milieu désordonné ; d'autre part, l'acoustique peut être utilisée pour caractériser les propriétés du milieu. La vitesse de propagation et l'absorption de trains d'onde dans une mousse ont été mesurées en fonction de la fréquence centrale du train d'onde. La gamme de fréquence étudiée correspond à des longueurs d'onde comprises entre le dixième de millimètre et quelques millimètres. La vitesse du son est de quelques dizaines de mètres par seconde, ce qui peut se comprendre simplement à l'aide de la théorie du milieu effectif. L'absorption du son varie beaucoup plus que la vitesse sur la gamme de fréquence considérée, ce qui rend la propagation inobservable à plus haute fréquence lorsque la longueur d'onde se rapproche de la taille caractéristique des bulles de gaz. Les mécanismes d'absorption de l'onde cohérente sont, les effets visqueux, les transferts thermiques aux interfaces et la diffusion multiple. Nous avons mis en évidence que les transferts thermiques sont le mécanisme dominant pour le type de mousse étudiée.

A fréquence fixée, l'absorption croît en fonction du temps, ce qui se comprend en raison de la coalescence des bulles. Des manifestations différentes du vieillissement de la mousse sur la vitesse et l'absorption du son, ainsi que sur l'absorption à différentes fréquences, sont observés et doivent être modélisés.

L'étude de milieux diphasiques modèles composés d'un empilement de billes contenues dans un liquide, a également été entreprise. Le choix de différents matériaux pour les billes et de différents liquides, permet de changer le contraste d'impédance acoustique entre les phases solide et liquide, de façon à modifier considérablement le libre parcourt moyen de diffusion dans le milieu. L'intérêt de la configuration expérimentale choisie est de pouvoir étudier des régimes de diffusion multiple en passant continûment du cas où la longueur d'onde est petite par rapport au libre parcourt moyen de diffusion au cas opposé et de caractériser les différents régimes de diffusion.

Référence : 

Son dans la mousse , N. Mujica, S. Rica et S. Fauve, Rencontre du Non-linéaire 1999, p. 136 (Paris 11 editions, 2000).

Propagation du son au voisinage du point critique liquide-vapeur.

S. Fauve, N. Mujica (en thèse), R. Wunenburger (postdoc)

L'étude de la propagation acoustique dans le dioxyde de carbone au voisinage du point critique liquide-vapeur a été entreprise depuis l'arrivée en postdoc de R. Wunenburger. Le comportement de la vitesse et de l'absorption d'ondes acoustiques linéaires au voisinage du point critique est relativement bien connu et nous a permis de valider notre dispositif expérimental. L'augmentation des non linéarités acoustiques au voisinage du point critique a été mise en évidence. Ce dispositif permettra, en régime diphasique, d'étudier l'effet combiné du désordre et des non linéarités sur la propagation acoustique.