Differential geometry and gauge theory

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Tél : 01 44 32 35 60
enseignement@phys.ens.fr

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Faculty : Rémi LECLERCQ (Orsay)
ECTS credits : 3
language of instruction : English
Examination : Oral exam, April 4th 2023

Description :

A tiny bit of differential calculus is required (you will need to recall how to compute gradients, divergences and curls).
Description

The goal of these lectures is to define mathematical gauge theory and relate it to gauge theory (from physics).

To achieve this, we will build a mathematical background : a lot of differential geometry, some algebraic topology, a bit of Riemannian geometry, and an ounce of category theory. We will also see how to use these effectively in physics.
Intended syllabus

1 . Basics of differential geometry : Manifolds and vector fields, differential forms, Hodge theory, de Rham cohomology. We will follow [Paulin] (in French) / [Lang] (in English), and [Warner] for the part on Hodge theory.

2 . First peeks at gauge theory : Maxwell’s equations, the Schrödinger equation,Yang-Mills theory. This will be based on [Sontz].

3 . More differential geometry (and a bit of Riemannian geometry) : Fiber and principal bundles, connections and curvature. Following [Husemoller], and [GallotHulinLafontaine].

4 . Finally : Mathematical gauge theory, based on [Sontz] and [Husemoller].
Bibliography

[GallotHulinLafontaine] Gallot, Sylvestre ; Hulin, Dominique ; Lafontaine, Jacques Riemannian geometry. Universitext. Springer-Verlag, Berlin, third edition, 2004.

[Husemoller] Husemöller, Dale Fibre Bundles. Third edition. Graduate Texts in Mathematics, 20. Springer-Verlag, New York, 1994.

[Lang] Lang, Serge Fundamentals of differential geometry. Graduate Texts in Mathematics, 191. Springer-Verlag, New York, 1999.

[Paulin] Paulin, Frédéric Variétés différentielles et formes différentielles. Lecture Notes.

[Sontz] Sontz, Stephen Bruce Principal bundles. The classical case. Universitext, Springer, Cham, 2015.

[Warner] Warner, Frank W. Foundations of differentiable manifolds and Lie groups. Corrected reprint of the 1971 edition. Graduate Texts in Mathematics, 94. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1983.

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