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La description de l'interaction entre l'écoulement de l'air turbulent et la morphologie de la dune est la principale difficulté à laquelle doit faire face la prévision théorique de la forme des barchanes. Numériquement, il est possible de déterminer l'écoulement autour d'une forme quelconque, en utilisant des modèles de turbulence mais les temps de calculs sont considérables, surtout qu'il faut bien entendu réitérer le calcul du flot un grand nombre de fois en actualisant la forme à chaque étape. En principe, la forme s'adaptant par érosion à l'écoulement qui, lui même, réagit au relief, le système {dune + écoulement } doit converger vers un état stationnaire. Une alternative efficace et éclairante est d'utiliser le Ccc modèle qui décrit l'évolution d'une dune bidimensionnelle et qui par raison de symétrie doit s'appliquer au profil de la tranche central d'une barchane. Commençons alors par rappeler rapidement l'origine de cette modélisation.

Ecoulement sur une bosse 2D de faible amplitude

Le problème de départ est le suivant : comment décrire l'écoulement de l'air lorsqu'il passe sur une bosse 2d de faible rapport d'aspect vertical. En réalité, il nous suffit d'estimer le frottement pariétal, t, puisque c'est au niveau du sol qu'ont lieu les phénomènes d'érosions. Considérons donc un écoulement bidimensionnel, dont le champ de vitesse est défini par les composantes u et v, sur une bosse h(x) = H f(x/L). Les équations de Navier-Stokes s'écrivent alors :

                                  
où n est la viscosité cinématique. Dans le cas d'un fluide parfait, les termes de dissipation deviennent négligeables et il est possible de mener un calcul perturbatif au premier ordre en H/L.

calcul à l'ordre 1 Considérons les composantes u = U + u_1(x,Z) et v = v_1(x,Z) où Z est la hauteur compensée Z = z - h(x,t) . La bosse est supposée suffisamment plate, H << L , pour que u_1 << U et v_1 << U . L'équation d'Euler linéarisée à l'ordre O(1) devient :

                                          
et l'équation de continuité s'écrit :
                                       
En négligeant les termes d'ordres O(2) les équations précédentes se résument à résoudre
laplacien de v égal 0, ce qui après résolution et utilisation de l'équation de continuité donne
                             
Ainsi, il est relativement aisé d'obtenir la variation au premier ordre de la vitesse au niveau du sol pour un écoulement à grand nombre de Reynolds. Physiquement, cette perturbation dépend de la forme entière de la bosse ce qui s'exprime par un terme non local. La différence de vitesse entre le sommet de la bosse et son pied ne dépend alors que de la forme de la bosse et pas de sa taille, ce qui est cohérent avec un écoulement sans échelle caractéristique interne. En prenant en compte l'équation de la conservation de la masse et en assimilant le flux saturé, q_sat au flux réel, q , l'évolution du relief d'une bosse bidimensionnelle, est alors régi par une équation du type :
                             
La résolution de cette famille d'équations montre qu'une bosse sur un fond meuble se transforme en un train d'onde \cite{LKD03}. En d'autres termes, il y a un fort effet dispersif et la bosse, loin de se transformer en une dune compacte, s'étale. De plus contrairement aux observations de terrain (voir chapitre 1 ) la vitesse de l'écoulement est maximale au sommet de la dune. Ce petit calcul est donc trop léger pour pouvoir modéliser l'existence d'une solution stationnaire pour le relief.
            

calcul évolué Il est possible par des techniques de calcul plus complexes, de déterminer plus précisément la perturbation en vitesse induite par le défaut du relief. C'est notamment ce qu'ont réalisé Jackson & Hunt. Leur calcul repose sur la détermination de l'écoulement turbulent par domaine. Le travail de thèse novateur de Sauermann a été d'extraire de ce calcul les effets physiques dominants et "d'oser" les utiliser au cas de la barchane, où d'une part le rapport d'aspect du relief est trop grand pour rentrer dans les approximations h/l << 1 , et d'autre part où on observe l'existence d'une séparation de couche limite incompatible avec le calcul de Jackson et Hunt. L'expression du frottement pariétal perturbé par la dune s'écrit :
                    
Nous retrouvons le terme intégral de l'analyse précédente plus un nouveau terme, local, Bh'(x), qui prend en compte la dépendance de la vitesse avec la pente locale. Ce dernier terme peut être interprété en disant que le fluide frotte plus sur la face aval (qui lui fait obstacle) que sur la face abritée, qui le laisse s'échapper. D'autres modélisations, dérivées différemment proposent de rajouter directement le terme en Bh'(x) au calcul d'ordre O(1) par des considérations d'efficacité d'érosion en fonction de la pente locale, lorsque le relief s'oppose à l'écoulement l'érosion doit être plus importante, d'où au premier ordre un terme supplémentaire, indépendant de l'accélération du fluide, et variant comme la dérivée de h.