Physique statistique

Les réseaux à seuil décrits au chapitre 5 peuvent être généralisés de plusieurs manières. L'une d'entre elles consiste à introduire une probabilité de transition vers les différents états possibles au lieu d'une fonction de transition. On parle alors d'automates probabilistes, êtres mathématiques dont le comportement est proche de celui des particules en physique statistique. Le rapide exposé qui suit, et qui constitue la première partie de ce chapitre, n'est pas une introduction à la thermodynamique statistique, mais une reformulation de quelques notions utiles dans le cadre du formalisme des réseaux d'automates. Cette reformulation nous permettra de comprendre le lien existant entre les systèmes physiques et les réseaux d'automates, en particulier en termes de simulation numérique. L'un et l'autre domaines sont éclairés aux niveaux conceptuel et méthodologique. C'est ainsi que l'approche de la physique statistique permet de prévoir "exactement" les capacités de mémorisation du modèle de Hopfield.

La thermodynamique statistique résulte de travaux commencés à la fin du XIX^e siècle par L. Boltzmann et W. Gibbs, puis poursuivis par M. Planck, A. Einstein, P. Debye et bien d'autres depuis. Son objectif est de décrire les propriétés des systèmes macroscopiques (c'est-à-dire à notre échelle), à partir des propriétés microscopiques de leur constituants élémentaires. On part des hypothèses les plus simples concernant la répartition des constituants entre les différents états microscopiques qui leur sont accessibles. On peut alors obtenir par des moyennes les grandeurs physiques mesurables caractérisant l'état macroscopique du système. C'est le très grand nombre des constituants qui permet de se contenter de moyennes, au lieu de rechercher toutes les configurations en principe accessibles au système.

Nous ne discuterons ici que de statistiques quantiques, dans le sens où les états accessibles aux particules sont discrets. En fait, dans les exemples décrits, il s'agira de spins d'Ising, notés S_i, variables binaires pouvant prendre les états-1 ou +1.

8-1 LES GRANDEURS FONDAMENTALES: ENERGIE ET TEMPERATURE

8-1-1 Energie et symétrie des interactions

Dans le cas des spins, l'énergie s'écrit sous la forme d'une somme de termes

où h_i est le champ local appliqué au spin i etT_ij la constante d'interaction entre les spins S_iet S_j.Si la somme est restreinte aux termes linéaires en S, les particules sont indépendantes. Les propriétés du système et les méthodes de calcul sont beaucoup plus simples que celles que nous allons évoquer à propos des systèmes en interaction, pour lesquels les termes bilinéaires sont présents.

8-1-2 Température et probabilités

où T est la température et k une constante appelée constante de Boltzmann. La somme au dénominateur est effectuée pour l'ensemble de toutes les configurations accessibles au système.

Aux basses températures, les coefficients des exponentielles sont grands en valeur absolue et les probabilités des configurations de basses énergies sont donc très importantes par rapport à celles des configurations de haute énergie. Plus la température s'élève plus les configurations d'énergie élevée interviennent.

A température nulle le système évolue vers les minima d'énergie. Sa dynamique rappelle celle du réseau d'automates décrit au paragraphe 5.2: à un instant donné une particule "choisit" l'état qui diminue ou garde constante l'énergie.

On retrouve aussi, à température non nulle, un principe de minimisation. Le système évolue de manière à minimiser une fonction, dite énergie libre, donnée par:

                                           F = E - T . S(8.3)

où T est la température et où S, l'entropie, estdéfinie par

8-2 AUTOMATES PROBABILISTES ET DYNAMIQUE DE MONTE-CARLO

L'un des choix possibles, la méthode du bain thermique, dérive d'une méthode proposée par Glauber. On considère un système composé d'éléments i en interaction les uns avec les autres. Soitune configuration 1 d'énergie E₁. On se propose de calculer sa probabilité de transition vers une configuration 2 voisine d'énergie E₂, qui ne diffère de la précédente que par la modification de l'état d'un seul élément i. On choisit alors une probabilité de transition donnée par

oùDE est la différence d'énergie entre les deux configurations: DE = E₂-E₁ (Fig. 8.1).

La probabilité de transition est d'autant plus forte que l'énergie de l'état final est inférieure à celle de l'état initial. Cette préférence pour les basses énergies est d'autant plus marquée que la température est plus basse. A température nulle, la pente de la courbe est infinie, et l'on retrouve une dynamique déterministe: le système évolue toujours vers les états de plus basse énergie.

Figure 8.1la probabilité de transition entre deux configurations voisines en fonction de leur différence d'énergieDE pour différentes valeurs de la température T. kT, défini dans le texte,varie de 0,25 (la transition la plus abrupte) à 0,5 , 1 et 2 (la transition la plus douce).

Autrement dit, la prise en compte de la température dans un système dynamique se traduit par le caractère probabiliste des changements d'état de ses composants. Ceux-ci ne sont donc plus décrits par des automates déterministes mais par des automates probabilistes.

Un automate probabiliste est défini par ses ensembles d'entrées et de sorties, et par une probabilité de transition vers chacun des états possibles de sortie en fonction des configurations d'entrée.

On passe de la fonction de transition de l'automate déterministe à la probabilité de transition de l'automate probabiliste en appliquant la règle suivante:

*Suivant un tirage au sort, l'automate prend l'état calculé par la fonction de transition avec la probabilité p, et l'état complémentaire avec la probabilité 1-p.

Avant de passer à la description des systèmes magnétiques modèles, précisons ici leurs liens avec les réseaux d'automates. Nous nous intéressons aux systèmes physiques dont le paysage dynamique, c'est-à-dire la carte des énergies, ne se réduit pas à une vallée unique avec un seul attracteur d'énergie minimum, mais aux systèmes comprenant de nombreuses vallées séparées par des barrières, semblables en cela aux réseaux de Hopfield dont les nombreux minima d'énergie correspondent aux références. La température devient maintenant un paramètre important qui contrôle les aléas de la dynamique. Aux basses températures le système reste bloqué au fond d'une vallée, en fonction des conditions initiales; lorsque la température s'élève les excursions du système en dehors du fond des vallées deviennent possibles, jusqu'à ce que toutes les configurations du système deviennent accessibles.

8-3 LE MODELE D'ISING DU MAGNETISME

E_ij =- T_ijS_iS_j(8.6)

où T_ij est caractéristique de la paire considérée.

L'énergie totale d'une configuration est donc donnée par:

La somme est effectuée sur tous les i et tous les j (d'où le facteur 1/2). LesT_ij sont bien entendu symétriques et les termes diagonaux T_ii sont nuls.

Si la température est nulle, la dynamique des spins est exactement celle que nous avons décrite au chapitre 5 pour les automates à seuil. Les spins sont mis à jour par une itération séquentielle aléatoire, et chacun prend l'état qui minimise son énergie d'interaction avec ses voisins. Il est donc amené à comparer la somme des énergies des paires dont il fait partie à un seuil (nul en l'occurrence) et à prendre l'état +1 si cette somme est négative lorsque S_i est positif et-1 dans le cas inverse. Les attracteurs sont bien des points fixes qui minimisent la fonction énergie.

Si la température est non nulle, le comportement du spin n'est plus déterministe. Il a tendance à "préférer" les états d'énergie minimum, mais "l'agitation thermique" peut l'envoyer vers des états d'énergie supérieure. D'une manière plus formelle, le spin se comporte comme un automate probabiliste. Il transite vers l'état S_i avec une probabilité donnée par:

Autrement dit,lorsque la somme des T_ij S_j est fortement positive (c'est-à-dire en valeur absolue grande par rapport à kT), le spin S_i prend la valeur 1 avec une probabilité proche de 1. Lorsque la somme est fortementnégative, cette probabilité est quasi nulle et le spin prend donc la valeur -1.

Dans la zone indécise, de largeur 4kT,le spin prend l'une ou l'autre valeur.

Les propriétés dynamiques du milieu magnétique dépendent du choix des T_ij, tout comme dans le cas des réseaux d'automates à seuil. On peut choisir diverses connectivités: cellulaire, complète ou aléatoire. Le modèle d'Ising est celui de la connectivité cellulaire. LesT_ijpeuvent être tous identiques, ou différents. Nous étudierons trois cas, celui du ferromagnétisme (paragraphe 8.3.1), avec des interactions identiques, celui des verres de spins (paragraphe 8.5), avec des interactions complètement aléatoires, et la version probabiliste des réseaux de Hopfield (paragraphe 8.4) qui constitue un cas intermédiaire.

8-3-1 Le ferromagnétisme

Description qualitative

Figure 8.2 Les deux configurations d'énergie minimum d'un ferromagnétique.

A température nulle, en fonction de la configuration initiale, le système évolue vers l'un ou l'autre attracteur. Lorsque la température s'élève, la probabilité qu'un spin sorte de son trou d'énergie devient non nulle, et de temps en temps certains spins prennent un état qui n'est pas celui de la majorité de leurs voisins. Néanmoins, on peut dire que les configurations accessibles au système restent localisées dans une vallée autour de la configuration d'énergie minimum. Au fur et à mesure qu'augmente la température, de plus en plus de spins font des incursions vers des niveaux d'énergie élevés, jusqu'à ce que le système soit capable de passer d'une vallée à l'autre. Pour un système de taille infinie, cette transition de phase se produit àtempérature parfaitement définie. La phase de basse température, pour laquelle le système reste toujours dans la même vallée, s'appelle la phase ferromagnétique. Dans la phase de haute température, le système passe allégrement d'une vallée à l'autre au cours du temps et l'aimantation est nulle en moyenne. Cette phase est appelée paramagnétique.

La méthode du champ moyen

La probabilité que le spin i soit dans l'état E_i est donnée par la formule (8.8). On se propose de remplaçer systématiquement S_j par sa valeur moyenne (moyenne effectuée sur tous les spins), dans l'évaluation de la somme sur j de toutes les interactions. Cette somme, J S S_{j ,} est équivalente à un champ magnétique local appliqué au spin i par ses voisins j , d'où le nom d'approximation du champ moyen. La moyenne de S_j, que nous noterons <S>, s'appelle aussi l'aimantation du système. E_i, l'énergie du spin i,s'écrit donc:

E_i= -J z <S> S_i                                                                         (8.9)

où z est le nombre de voisins du spin i. Ce nombre est de 4 pour un réseau carré, de 6 pour un réseau cubique, etc.

<S> est aussi la moyenne de S_i que l'on calcule alors comme:

<S> = p₊ . (+1)+ p_- . (-1) = p₊ - p_-(8.10)

oùp+ et p- sont les probabilités respectives que S_i soit égal à +1 ou -1.<S> est donc solution de l'équation implicite:

Figure 8.3Résolution graphique de l'équation implicite de l'aimantation (8.11).

Le nombre de racines de l'équation implicite en <S> dépend de la pente à l'origine de la tangente hyperbolique comparée à 1 (Fig. 8.3). Cette pente varie en raison inverse de la température. Si la pente est faible, la première bissectrice ne coupe la courbe qu'en <S> = 0. L'aimantation est donc nulle à haute température. Parcontre aux basses températures, la pente est élevée et la première bissectrice coupe la tangente en trois points. Le point d'aimantation nulle est en fait instable car il correspond à un maximum de l'énergie libre ainsi que le montrerait l'application directe des formules données plus haut (Eq. 8.3 et 8.4). Les deux autres intersections correspondent à des configurations stables. Les deux magnétisations opposées sont d'autant plus proches de +1 ou de -1 que la température est plus basse. La température de transition T_c entre les deux comportements, paramagnétique à haute température et ferromagnétique à basse température, est donnée par :

<S> joue le rôle d'un paramètre d'ordre, nul dans la phase désordonnée de haute température, et d'amplitude macroscopique dans la phase ordonnée à basse température. Il prend l'amplitude maximum de 1 à température nulle: l'ordre est maximum car une seule configuration à la fois est accessible au système.

Les conclusions de ce calcul approché restent valables lorsqu'on emploie des méthodes plus sophistiquées. Elles sont aussi vérifiées expérimentalement. En résumé:

*Aux températures élevées, les configurations d'aimantation nulle sont stables. Le système évolue entre elles car les probabilités de transition entre des configurations d'énergie voisine sont élevées. On dit que le système se trouve dans une phase isotrope unique. Le paramètre d'ordre est nul.

*Aux basses températures, deux phases d'aimantation non nulle peuvent exister et le système, du fait de la dynamique, "choisit" l'une d'entre elles en fonction des conditions initiales (et du champ magnétique extérieur qui peut priviligier l'une des deux phases dans un système physique). Chaque phase est stable: un système de taille infinie a une probabilité nulle de passer d'une phase à l'autre. La symétrie du système entre les configurations d'aimantation +1 et -1 est donc brisée à basse température. Le paramètre d'ordre est non nul.

*La transition entre les deux comportements se produit à une température critique proportionnelle à l'interaction.

8-3-2 Généralisations

Les interactions entre spins voisins peuvent être uniformes et négatives. Le milieu est alors appelé antiferromagnétique. Il y a deux configurations opposées d'énergie minimum: dans chacune d'elles, les spins sont alternativement positifs et négatifs lorsque l'on passe d'un spin à son voisin immédiat (Fig. 8.4).

Figure 8.4 Les deux configurations d'énergie minimum d'un antiferromagnétique. Elles sont équivalentes à une translation près.

Bien que l'aimantation totale soit nulle, le système est parfaitement ordonné. On observe aussi deux régimes suivant la température, séparés par une transition de phase. Dans le cas d'interactions avec les seconds voisins, ou encore d'interactions anisotropes, on retrouve des comportements avec transition de phase entre une phase désordonnée à haute température, et des phases ordonnées à basse température.

Nous n'avons parlé jusqu'à présent que d'interactions uniformes dans tout le réseau. L'introduction du désordre peut compliquer les choses. Cependant, certains désordres ne produisent que des comportements à deux attracteurs à basse température. Si toutes les interactions restent positives, elles favorisent toujours le parallélisme des spins et les deux configurations stables sont les configurations d'aimantation proche de +1 et -1.

Il en est de même pour le modèle de Mattis, pour lequel les interactions sont de la forme:

      T_ij = U_i U_j                            (8.13)

où les variables U_i,distribuées au hasard, valent +1 ou -1, ce qui rappelle un système de Hopfield avec une seule référence. En effet, il suffit de faire le changement de variable:

S'_i = U_i S_i(8.14)

pour que la nouvelle constante d'interaction entre les S'_i devienne égale à 1 et donc indépendante de la paire de spins voisins considérée. Par conséquent, à basse température, on retrouve deux attracteurs proches de S'_i = +1 et S'_i = -1, correspondant respectivement à S_i =U_i et S_i= -U_i. Bien entendu l'aimantation, liée aux variables S_i, n'a pas de raison d'être proche de +1 ou de -1. Le paramètre d'ordre est à présent la projection de S_i sur U_i:

Suivant queS'_i= ± 1, celui-ci sera proche de +1 ou de -1.

8-3-3 La frustration

Si ce produit est positif, la boucle n'est pas frustrée. Il est possible de trouver deux configurations opposées qui sont des minima absolus de l'énergie de la boucle (Fig. 8.5).

Si le produit des interactions est négatif, la boucle est frustrée et il n'est pas possible de trouver une configuration qui satisfasse toutes les interactions. Il existe en revanche plusieurs d'entre elles (huit au total pour des interactions égales à +1 ou -1 comme sur les figures 8.5 et 8.6) qui satisfont trois des interactions sur les quatre: leur énergie est donc de ?2 (Fig. 8.6).

Figure 8.5 Deux configurations d'énergie minimum d'une boucle non frustrée. Les chiffres à coté des liens figurent les constantes d'interaction, et ceux situés aux quatre coins figurent l'état des spins. Pour les deux configurations, l'énergie de chaque lien est bien négative et égale à -1. L'énergie de la boucle est donc de -4 dans les deux cas. 

Figure 8.6 Deux configurations d'une boucle frustrée. L'énergie de la boucle est de -2 dans les deux cas. Aucune configuration ne permet de minimiser simultanément les énergies de chacune des quatre liaisons; il existe six autres configurations d'énergie équivalente.

Dans le cas d'un système dont aucune boucle n'est frustrée, comme pour les deux exemples notés plus haut, l'ordre induit sur une boucle se propage de boucle en boucle. Par contre dans le cas d'un système frustré, c'est-à-dire comportant de nombreuses boucles frustrées, les parties frustrées peuvent exister dans de nombreuses configurations relativement indépendantes les unes des autres, d'où la possibilité d'un très grand nombre d'attracteurs.

8-4 NEURONES FORMELS PROBABILISTES

Il s'agit de spins dont les interactions, comme dans le modèle de Hopfield, sont données par:

où le facteur 1/N a pour but de renormaliser l'intensité des interactions de manière à ce que les résultats restent indépendants du nombre des automates lorsque celui-ci tend vers l'infini. Les S^s sont les configurations de référence. Il s'agit d'un système à connectivité complète, contrairement au modèle d'Ising pour lequel les interactions ne concernent que les proches voisins.

Rappelons que la probabilité que l'automate i prenne l'état S_i est donnée par la formule (8.8), dans laquelle les poids synaptiques sont ceux de la formule (8.16).

Cette probabilité en fonction de S_i correspond à la fonction de l'énergie représentée sur la figure 8.1. La température y joue donc le même rôle en élargissant la zone d'incertitude. En particulier, à température nulle P(S_i) est dégénérée en fonction de Heaviside, et le modèle probabiliste se ramène à la dynamique déterministe du modèle de Hopfield étudiée au chapitre 5.

Comme dans le cas du modèle de Hopfield, on s'intéresse aux propriétés de mémoire associative, et donc aux attracteurs de la dynamique définis par le réseau des T_ij calculés suivant la règle de Hebb en fonction des références. L'itération est de type séquentielle aléatoire. Les attracteurs stricto sensu définis dans le cas des automates déterministes doivent être généralisés. On parle d'attracteur dans le cas d'une dynamique probabiliste, si le système évolue autour d'une configuration attractrice sans s'en éloigner de plus d'une distance de Hamming petite par rapport à N. Enfin, dans la mesure où les interactions sont symétriques et les référencesaléatoires et non corrélées, les deux paramètres définissant le comportement dynamique sont la température et a, le rapport du nombre de références au nombre total des automates.

On peut bien entendu utiliser les simulations numériques pour étudier les performances d'un tel système. Leurs résultats sont en accord avec ceux de l'étude formelle par les méthodes de la thermodynamique que nous allons exposer maintenant.

Commençons par introduire m grandeurs que nous assimilerons à des paramètres d'ordre. Ce sont les projections des configurations attractrices S^a sur lesréférences S^s:

Autrement dit, au lieu de calculer explicitement les configurations attractrices, on se contente de calculer leurs projections sur les références. Un attracteur proche d'une référence S^maura alors toutes ses projections sur les autres références quasi nulles (de l'ordre de 1/); la projection surS^m sera égale à 1.

                                                 q_as = d (a,s)(8.18)

où d est le symbole de Kronecker égal à 0 si a et s diffèrent, et égal à 1 s'ils sont identiques.

L'étude de D. Amit, H. Gutfreund et H. Sompolinskyest basée sur l'existence de formules de champ moyen, analogues à la formule donnant l'aimantation dans le cas du ferromagnétisme, qui permettent de calculer les projections q_as. La connectivité étant infinie, ces formules sont exactes. Différents types de solutions donnant des projections q_as non nulles apparaissent aux températures inférieures à 1.

Les solutions les plus intéressantes sont très proches des patterns de référence. Il correspond d'ailleurs à chacune d'entre elles une configuration opposée. Elles ne sont cependant équivalentes aux patterns de référence que si la température est nulle, et que sia tend vers 0, ce qui est en accord avec les résultats obtenus au chapitre 5. Néanmoins, si l'on accepte un très léger pourcentage d'erreur, de l'ordre de 1%, on observe des attracteurs dont une seule des projections sur les références est proche de 1 et toutes les autres négligeables, pour des fractions du nombre des attracteurs inférieures à environ 14% du nombre des automates. Il existe cependant une fraction critique a_c au-dessus de laquelle les projections q_as sur les attracteurs s'annulent d'une manière discontinue. On peut se faire une idée de la fidélité de la reconnaissance des références en examinant la variation du pourcentage d'erreur e, en fonction de a, à température nulle. e est lié à la projectionq_as par:

On voit que e n'augmente que très lentement en approchant dea_c, et qu'il reste toujours inférieur à 1%. Dès quea_c est dépassé, e saute tout de suite à 50%, ce qui correspond à des configurations non corrélées (Fig. 8.7).

On constate aussi l'apparition de solutions "parasites" formées de la combinaison de plusieurs références pour les températures et les fractions a les plus basses. La figure 5.3.e nous en a donné un exemple. Seules les combinaisons d'un nombre impair de références sont stables, mais toujours moins que les attracteurs proches des références. Ces combinaisons sont obtenues en sommant sur chaque site les spins de chacune des références: si la somme est positive le site prend la valeur 1, sinon il prend la valeur -1. Le nombre des solutions parasites est bien plus élevé que celui des références: il est exponentiel en m.

Figure 8.7 Fidélité de la reconnaissance à température nulle. Le pourcentaged'erreurs entre l'attracteur et la référence la plus proche reste faible jusqu'à la "catastrophe". Après, c'est l'oubli total. (D'après D. Amit, H. Gutfreund et H. Sompolinsky, Annals of Physics, 173, 30 (1987).)

En fait, augmenter la température, ou augmenter a, revient à bruiter la dynamique de convergence vers les attracteurs, ce qui fait disparaître les plus instables. On peut donc tracer en fonction des deux paramètres a et T un véritable diagramme de phase dans lequel les lignes comme T_M et T₃ séparent des phases de nature différente. Au-dessus de la ligne T_M on observe une phase de type verre de spin, dans laquelle coexistent un très grand nombre d'attracteurs dont la projection sur toutes les références estpetite (de l'ordre de 1/\R(N)). Sous la courbe T_M apparaît une phase où des configurations très proches des références sont attractrices. Ce ne sont cependant pas les seuls attracteurs. Enfin, si la température diminue en dessous de T₃, les mélanges de trois références deviennent stables. On peut donc considérer qu'un certain niveau de bruit, représenté ici par une température non nulle, peut améliorer les performances du système comme mémoire associative en déstabilisant les mélanges de références que l'on souhaite éviter. Dans le cas des véritables neurones, ce bruit existe et a pour origine les processus physico-chimiques à l'échelle membranaire. Remarquons que le bruit thermique et le bruit lié à la présence des autres références jouent le même rôle de déstabilisation de la référence (Fig. 8.8).

Figure 8.8 Diagramme de phase des réseaux de neurones formels probabilistes. Trois phases apparaissent: à température et nombre de références élevés, une phase verre de spin. Dans la phase intermédiaire, les références sont attractrices. A basse température et faible nombre de références, les mélanges de références le sont aussi. (D'après D. Amit, H. Gutfreund et H. Sompolinsky, Annals of Physics, ibid.)

8-5 VERRES DE SPINS

Les verres de spins ont été l'objet de nombreuses études tant théoriques qu'expérimentales, et nous ne discuterons pas ici de ce qui relève du magnétisme ou de la physique proprement dite. Par contre, nous nous proposons de décrire les états métastables de la dynamique, à titre de comparaison avec les autres systèmes étudiés dans cet ouvrage.

Le modèle de Sherrington Kirkpatrick est un système dans lequel chaque spin interagit avec tous les autres d'une manière fixe mais aléatoire, indépendamment d'une notion de distance. Cette simplification justifie la méthode du champ moyen, et permet le calcul des propriétés thermodynamiques par la méthode dite des répliques, que nous n'exposerons pas ici. Les résultats en sont les suivants.

La phase haute température, ou phase paramagnétique, est tout à fait comparable à la phase paramagnétique des systèmes plus simples décrits précédemment: le système a accès avec une probabilité finie aux diverses configurations.

Aux basses températures apparaît une phase verre de spins dont les attracteurs sont caractérisés par les propriétés suivantes:

*Le nombre des attracteurs varie comme l'exponentielle du nombre des spins. Il est de l'ordre de exp(0,2 N); ce résultat est démontré à température nulle.

*Pour caractériser le caractère ordonné de la phase verre de spins, on souhaiterait déterminer un paramètre d'ordre en projetant les attracteurs sur une ou plusieurs configurations de référence. Du fait du désordre des interactions, cela n'est pas possible et on est amené à considérer les projections croisées des attracteurs entre eux. On définit q_ab, la projection de deux attracteurs a et b, par:

Au lieu d'un seul paramètre d'ordre, comme dans le cas du ferromagnétisme, ou d'un nombre fini comme dans le cas d'un réseau de neurones formels, on est amené à définir une fonction d'ordre, l'histogramme des q_ab :

P(q) est la probabilité que deux configurations a et b aient pour projection l'une sur l'autre q. p_a et p_b sont les probabilités respectives de a et b, et d la fonction de Dirac. L'allure de P(q) est représentée sur la figure 8.9.

On obtient deux pics de Dirac à -q_m et q_m et un continuum de projections possibles entre les deux. (A haute température P(q) n'aurait qu'un seul pic en q = 0.)

Figure 8.9 P(q), histogramme des projections entre les attracteurs d'un verre de spins. 

*La distribution des attracteurs n'est cependant pas quelconque. Si l'on considère des triplets d'attracteurs abg, leurs distances de Hamming respectives donnent des triangles qui sont soit équilatéraux, soit des triangles isocèles dont les deux côtés égaux sont toujours plus grands que le troisième côté (Fig 8.10).

Cette propriété, qui définit l'ultramétricité, est caractéristique des systèmes hiérarchiques.

La structure des attracteurs est une structure hiérarchique en arbre, dans laquelle les attracteurs sont représentés par les feuilles de l'arbre, et leurs distances respectives par la hauteur de leur première racine commune (Fig 8.11):

On voit ainsi l'origine de la règle des triangles énoncée plus haut.

*Enfin, malgré le très grand nombre des attracteurs, seul un petit nombre d'entre eux ont un bassin d'attraction, et donc un poids statistique, important. Les bassins de ces attracteurs occupent un pourcentage fini de l'espace des états. Aux basses températures les propriétés du système sont donc dues à l'un de ces grands bassins, à condition tout au moins que le refroidissement du système ait été effectué lentement.

Toutes les propriétés énoncées plus haut ont été obtenues pour le modèle de Sherrington Kirkpatrick. La question de savoir si ces propriétés subsistent dans les systèmes physiques réels, à trois dimensions, reste encore ouverte.

Références

Les articles les plus importants concernant les sujets évoqués dans ce chapitre sont réunis dans le livre de M. Mézard, G. Parisi et M. Virasoro Spin Glass Theory and Beyond, World Scientific (1987).